Lösningar till TMA 305 Envariabelanalys I, del A, 02 01 14.

1.

Vektorerna med fotpunkt i (0,3,-2) och slutpunkt i (1,5,0) respektive (4,2,6) har koordinaterna (1,2,2) respektive (4,-1,8). Det minsta avståndet d mellan partikeln och punkten är höjden mot vektorn (1,2,2) i den parallellogram som spänns ut av de båda vektorerna. Vektorn (1,2,2) har länd 3 och parallellogramens area är därför 3d.

Parallellogrammens area är också längden av kryssprodukten

$$(1,2,2)\times (4,-1,8)=(18,0,-9)=9(2,0,-1),$$

som är $9\sqrt{4+0+1}=9\sqrt{5}$. Detta ger $d=3\sqrt{5}$.

Svar: $3\sqrt{5}$.

2.

Derivatan är gränsvärdet av differenskvoten (f(x)-f(0))/x, när $x\rightarrow 0$. Differenskvoten är $\Big(\ln(x+1)-x-ax^{2}\Big)/x^{3}$. Gränsvärdet är av typen 0/0 och l'Hospitals regel ger att det är samma som gränsvärdet av

$$\frac{1/(x+1)-1-2ax}{3x^{2}},$$

som återigen är av typen 0/0. Ytterligare användning av regeln ger att detta är gränsvärdet av

$$\frac{-(x+1)^{-2}-2a}{6x}.$$

Eftersom nämnaren går mot noll när $x\rightarrow 0,$ måste även täljaren göra det för att gränsvärdet ska existera. Detta ger att 0=-1-2a och a=-1/2. Ytterligare användning av regeln med detta värde på a ger att vi ska beräkna gränsvärdet av

$$\frac{2(x+1)^{-3}}{6},$$

som är 1/3.

Svar: a=-1/2 och f'(0)=1/3.

3.

(a)

Låt $\alpha$ vara den vinkel som finns två gånger i den likbenta triangeln och x vara längden på de båda lika långa benen. Triangelns area är då $A(\alpha)=x\cos(\alpha)x\sin(\alpha)=x^{2}\sin(2\alpha)/2,$ där $0\leq \alpha\leq \pi/2$. Derivering ger $A'(\alpha)=x^{2}\cos(2\alpha),$ som är noll när $\alpha=\pi/4$ och negativt när $\pi/4<\alpha\leq\pi/2$ samt positivt när $0\leq \alpha<\pi/4$. Av detta följer att arean är störst när de båda lika vinklarna i triangeln är $\pi/4$. Den återstående vinkeln är då $\pi/2,$ och triangeln är rätvinklig.

(b)

Vi låter x beteckna länden av de båda lika triangelbenen i en gavel. Arean av sådan är då $x^{2}\sin(2\pi/4)/2=x^{2}/2$. Vi låter y beteckna tältets längd. Volymen är då V=x²y/2 och takets area är 2xy, så att materialåtgången blir M(x)=x²+2xy=x²+4V/x, där x>0.

Derivering av M ger M'(x)=2x-4V/x², som är noll när x=(2V)^1/3. Derivatan är negativ när x är mindre än detta värde och positiv när x är större än det. Vi ser att M har ett minimum när x=(2V)^1/3 och då är också y=(2V)^1/3.

Svar: Tältet ska ha längd (2V)^1/3 liksom katetrarna i gaveln.