Förslag till lösning av inlämningsuppgift 1

1. Lägg in ett koordinatsystem som i figuren.
   
   Vi får ingen upplysning av den aktuella sidan fram till $\theta$ väljs så att linjen genom de två punkterna (-1,0) och (0,1) också går genom $(5\cos(\theta),5\sin(\theta)).$ Linjen genom punkterna har ekvationen y=x+1 och (halv)cirkeln har ekvationen x²+y²=25. Detta ger 25=x²+(x+1)²=2x²+2x+1, som har lösningarna x=3, (respektive x=-4). Den intressanta punkten på cirkeln är alltså (3,4) som är $(5\cos(\theta),5\sin(\theta)),$ när $\theta=\arctan(4/3)$. Vi har alltså $A(\theta)=0,$ när $0<\theta\leq \arctan(4/3)$. När vinkeln $\theta$ är $\geq \pi/2,$ blir hela den aktuella sidan upplyst och vi får $A(\theta)=2,$ när $\theta\geq \pi/2$. Linjen genom de två punkterna $(5\cos(\theta), 5\sin(\theta))$ och (0,1) har ekvationen
   
   $$y=\frac{5\sin(\theta)-1}{5\cos(\theta)}x+1.$$
   
   
   Linjen skär därför x-axeln i $5\cos(\theta)/(1-5\sin(\theta)),$ vilket betyder att den upplysta bredden på sidan är $1+5\cos(\theta)/(1-5\sin(\theta)),$ så $A(\theta)=2+10\cos(\theta)/(1-5\sin(\theta)),$ när $\arctan(4/3)< \theta<\pi/2$.
   
   $$A(\theta)=\left\{ \begin{array}{lcr} 0 &\mbox{ när } &... ... 2&\mbox{ när }& \pi/2\leq \theta<\pi \end{array}\right.$$
   
   

2. Grafens utseende:
   
   
   
3. Av uttrycken för $A(\theta)$ ser vi att det inte är något problem med kontinuiteten utom möjligen i $\arctan(4/3)$ och $\pi/2$. ( $5\sin(\theta)>4$ mellan dessa vinklar.) När $\theta\rightarrow\arctan(4/3)^{+}$ har vi att $A(\theta)=2+10\cos(\theta)/(1-5\sin(\theta))\rightarrow 2+2\cdot 3/(1-4)=0=A(\arctan(4/3)),$ eftersom $5\cos(\arctan(4/3))=3$ och $5\sin(\arctan(4/3))=4$. När $\theta\rightarrow\arctan(4/3)^{-}$ har vi att $A(\theta)=0\rightarrow 0=A(\arctan(4/3)),$ så vi har kontinuitet i $\arctan(4/3)$. När $\theta\rightarrow (\pi/2)^{-},$ har vi att $A(\theta)=2+10\cos(\theta)/(1-5\sin(\theta))\rightarrow 2+10\cdot 0/(1-5)=2=A(\pi/2)$. När $\theta\rightarrow(\pi/2)^{-}$ har vi att $A(\theta)=2\rightarrow 2=A(\pi/2),$ så vi har kontinuitet i $\pi/2$.
4. Vi undersöker differenskvoten $Q=(A(\theta)-A(\arctan(4/3)))/(\theta-\arctan(4/3)),$ när $\theta\rightarrow \arctan(4/3)^{\pm}$. När $\theta\rightarrow\arctan(4/3)^{+}$ har vi
   
   $$Q=\frac{2-10\sin(\theta)+10\cos(\theta)}{(\theta-\arctan(4/3))(1-5\sin(\theta))},$$
   
   
   som är ett gränsvärde av typen ``0/0''. Enligt L'H har detta samma gränsvärde som
   
   $$Q_{1}=\frac{-10\cos(\theta)-10\sin(\theta)}{1-5\sin(\theta)-5\cos(\theta)(\theta-\arctan(4/3))},$$
   
   
   om gränsvärdet av Q₁ existerar. Vi har
   
   $$Q_{1}\rightarrow\frac{-2\cdot 3-2\cdot4}{1-4-3\cdot0}=14/3,$$
   
   
   när $\theta\rightarrow\arctan(4/3)^{+}$. När $\theta\rightarrow \arctan(4/3)^{-},$ har vi däremot $Q=0\rightarrow 0,$ så Q har inget gränsvärde när $\theta\rightarrow \arctan(4/3),$ och därför är $A(\theta)$ inte deriverbar i $\arctan(4/3)$. Vi undersöker differenskvoten $Q=(A(\theta)-A(\pi/2))/(\theta-\pi/2),$ när $\theta\rightarrow (\pi/2)^{\pm}$. När $\theta\rightarrow(\pi/2)^{-}$ har vi
   
   $$Q=\frac{10\cos(\theta)}{(\theta-\pi/2)(1-5\sin(\theta))},$$
   
   
   som är ett gränsvärde av typen ``0/0''. Enligt L'H har detta samma gränsvärde som
   
   $$Q_{1}=\frac{-10\sin(\theta)}{1-5\sin(\theta)-5\cos(\theta)(\theta-\pi/2)},$$
   
   
   om gränsvärdet av Q₁ existerar. Vi har $Q_{1}\rightarrow -10/(1-5+0)=5/2,$ när $x\rightarrow (\pi/2)^{-}$ När $\theta\rightarrow (\pi/2)^{+}$ har vi $Q=0\rightarrow 0,$ så $A(\theta)$ är inte deriverbar i $\pi/2$
   Svar: $A(\theta)$ är kontinuerlig i alla punkter $0<\theta<\pi$ och deriverbar i alla punkter utom i $\arctan(4/3)$ och $\pi/2$.