Förslag till lösning av inlämningsuppgift 2

 
Navet befinner sig vid tiden t i (t,1).

I förhållande till denna medelpunkt har den intressanta punkten koordinaterna $(\cos(3\pi/2-t),\sin(3\pi/2-t))$. Detta leder till parametriseringen

$$\left\{ \begin{array}{l} x(t)=t+\cos(3\pi/2-t)=t-\sin(t)\\ y(t)=1+\sin(3\pi/2-t)=1-\cos(t). \end{array}\right.$$

Vi har $x'(t)=1-\cos(t)$ och $y'(t)=\sin(t),$ vilket ger $(x')^{2}+(y')^{2}=2(1-\cos(t)),$ så $v(t)=\sqrt{2}\sqrt{1-\cos(t)}$. Vi ser att största värdet av v(t) är 2 och minsta värdet är 0. Den vid tiden t tillryggalagda sträckan s(t) bestäms av $s(t)=\int_{0}^{t}v(x)\, dx$. Vi beräknar en primitiv funktion till $\sqrt{1-\cos(t)}=\sqrt{1-\cos(t)}/1$ genom att först förlänga med $\sqrt{1+\cos(t)},$ så vi får $\sqrt{1-\cos(t)}=\vert\sin(t)\vert/\sqrt{1+\cos(t)}$. Vi får se upp eftersom vi delat med 0, när x är en udda heltalsmultipel av $\pi$. Vi har $\int \vert\sin(t)\vert/\sqrt{1+\cos(t)}\,dt=\pm 2\sqrt{1+\cos(t)},$ där vi ska använda minustecken när $\sin(t)$ är <0 och plustecken när $\sin(t)>0$ annars. Vi får alltså

$$f(t)=\left\{ \begin{array}{lcr} -2\sqrt{1+\cos(t)}&\mbo... ...s(t)}&\mbox{ när } & \pi< t\leq 2\pi.\\ \end{array}\right.$$

Vi undersöker om f(t) blir deriverbar i $\pi$ om vi sätter $f(\pi)=\pm 2\sqrt{1+\cos(\pi)}=0$. Differenskvoten blir $\pm 2\sqrt{1+\cos(t)}/(t-\pi)=\pm 2\sqrt{1-\cos^{2}(t)}/((t-\pi)\sqrt{1-\cos(t)}),$ efter förlängning med $\sqrt{1-\cos(t)}$. När $t<\pi$ blir differenskvoten $-(2/\sqrt{1-\cos(t)})(\sin(t)/(t-\pi)),$ där den första faktorn har gränsvärdet $-2/\sqrt{2}$ när $t\rightarrow \pi^{-},$ medan den andra ger ett gränsvärde av typen ``0/0''. L'Hospitals regel ger oss kvoten $\cos(t)/1,$ med gränsvärdet -1, när $t\rightarrow \pi^{-}$. Det betyder att differenskvoten har gränsvärdet $\sqrt{2},$ när $t\rightarrow \pi^{-}$. Även när $t>\pi$ blir differenskvoten $-(2/\sqrt{1-\cos(t)})(\sin(t)/(t-\pi)),$ eftersom nu $\sin(t)=-\sqrt{1-\cos(t)}$. Gränsvärdet av detta blir $\sqrt{2},$ enligt samma räkningar som tidigare. Vi får nu att $s(t)=\sqrt{2}f(t)+C$ när $0\leq t\leq 2\pi$. Eftersom 0=s(0) och $f(0)=-2\sqrt{2},$ har vi C=4 och $s(t)=\sqrt{2}f(t)+4$. Vi ser att när hjulet rullat ett varv ($t=2\pi$) har punkten tillryggalagt sträckan 8. Det betyder att vi har

$$s(t)=\sqrt{2}f(t)+4+k8\mbox{ , när }k2\pi\leq t(k+1)2\pi.$$

En skiss av grafen till medelhastigheten under tiden 0 till t, s(t)/t, ser ut så här