Förklaringat till duggan på TMA305, del A, H03

 

1. Grafen har (förefaller ha) en vågrät asymptot. Detta utesluter aleternativ c) - d). Den har en lodrät asymptot detta utesluter b).

   Rätt alternativ: a)

2. Alternativ b) och c) är uteslutna på grund av funktionens värde i x=0. I alternativ e) går funktionen mot $-\infty,$ när $x\rightarrow \infty,$ vilket utesluter detta alternariv.

   I alternativ d) ger en omskrivning att f(x)=1+(2x)/(1+x²), med derivata f'(x)=(2-4x²)/(x²+1)², som växlar tecken i 1/2. Detta stämmer inte med figuren.

   Rätt alternativ: a)

3. Man har att f(x)=1+x-x²-x³=(1+x)(1-x²), som har nollställen i -1 (dubbelt) och 1. Detta utesluter a) och d). Vidare gäller att $f(x)\rightarrow\-\infty,$ när $x\rightarrow \infty$, vilket utesluter c).

   Eftersom f(0)=1 är e) uteslutet.

   Rätt alternativ: b)

4. Man har att $\pi/2<3<\pi,$ så $\pi-3$ är en vinkel mellan 0 och $\pi/2$ med samma sinus-värde som 3. Detta ger att $\arcsin(\sin(3))=\pi-3$.

   Rätt alternativ: c)

5. Man har att en expontentiellt växande funktion dominerar en potensfunktio, och att en växande potensfunktion dominerar logaritmer när $x\rightarrow \infty$.

   I a), b) och c) går uttrycket mot $\infty$. I d) och e) går det mot 0.

   Rätt alternativ: e)

6. Att 3x-5 är den linjära approximationen till f(x) i x=2, ger att $f(2)=3\cdot2-5=1$ och f'(2)=3.

   Värdet 1 när x=2 utesluter d) och e) . I a) är derivatan 1/(x-1), som ger 1 när x=2, vilket utesluter detta alternativ.

   I b) är derivatan ((2x+4)(x⁴-2x³+9)-(x²+4x-3)(4x³-8x))/(x⁴-2x³+9), som blir $(8\cdot 9-9\cdot 16)/(9)^{2},$ som är negativt (alltså inte 3).

   I c) är derivatan ((2x+3)(x³-11x+16)-(x²+3x-8)(3x²-11))/(x³-11x)+16)² som blir $(7\cdot 2-2\cdot 1)/2^{2}=3,$ som stämmer.

   Rätt alternativ: c)

7. a) Derivatan är (3x²-1)e^x3-x+1, som växlar tecken. Funktionen är inte strängt växande.

   b) Derivatan är 1/(1+x²), som alltid är positivt. Funktionen är strängt växande. Andra derivatan är -2x/(1+x²)², som växlar tecken. Funktionen växlar konkavitet.

   c) Derivatan är 2x+3 som växlar tecken. Funktionen är inte strängt växande.

   d) Funktionen är f(x)=x som inte växlar konkavitet.

   e) Derivatan är e^x/(e^x+1)=1-(1/(e^x-1)) som alltid är positivt. Funktionen strängt växande. Andraderivatan är e^x/(e^x-1)², som inte växlar tecken (är positiv). Funktionen byter inte konkavitet.

   Rätt alternativ: b)

8. I a) är derivatan $(1/(1+x^{2}))\cdot 2x,$ som är det sökta.

   Rätt alternativ: a)

9. Kedjeregen ger D(f(g(x)))=f'(g(x))g'(x), som är =0 när antingen g'(x)=0 (som stämmer för två värden på x, i närheten av $\pm 1$ ) eller f'(g(x))=0. Den sista likheten ger g(x)=0 som har lösningen x=0.

   Den graf som gäller ska alltstå ha precis tre nollställen.

   Rätt alternativ: e)

10. a) Stämmer inte: tag f(x)=g(x)=x.

    b) Stämmer inte: tag f(x)=e^x med invers $\ln x,$ som båda är strängt växande.

    c) Stämmer inte: tag $f(x)=\ln x$ som är strängtväxande, konkav nedåt men $\rightarrow\infty,$ när $x\rightarrow \infty$.

    d) Om f(x) är konkav nedåt ligger grafen under varje tangentlinje. Speglas bilden i linjen x=y hamnar grafen (till f^-1(x)) ovanför tangetlinjen i varje punkt. (Att f(x) är strängtväxande gör att man kan vara säker på att den är inverterbar.)

    e) Stämmer inte: tag $f(x)=\ln x,$ med f'(x)=1/x som är positiv (när x>0, så att f(x) växer) men strängt avtagande. Dessutom f(x) $\rightarrow\infty,$ när $x\rightarrow \infty$.

    Rätt alternativ: d)

11. Uttrycket för f(x) när $x\not0$ skrivs på ett bråkstreck:
    
    $$\frac{3x^{2}(x+1)+(ax+6)(x-1)}{(x^{2}-1)(x+2)}$$
    
    
    För kontinuitet i x=-2 krävs att detta uttryck har gränsvärdet 5/3 när $x\rightarrow -2$. Eftersom nämnaren blir 0 när x=-2 måste även täljaren bli det. Detta ger -12+(-2a+6)(-3)=0 eller a=5.

    Detta ger bråket
    

    $$\frac{3x^{2}(x+1)-(5x+6)(x-1)}{(x^{2}-1)(x+2)}=\frac{3x^{2}+2x-3}{(x^{2}-1)},$$
    
    
    som har gränsvärdet (12-4-3)/3=5/3.

    Rätt alternativ: b)

12. För deriverbarhet krävs kontinuitet. Man ska ha 1/(0+1)=a-(0+1)² som ger a=2. För deriverbarhet krävs dessutom att derivatorna av 1/(x+1) och 2-(x+1)² blir samma när x=0.

    Det första uttrycket har derivatan -1/(x+1)², som ger -1, när x=0. Det andra har derivatan -2(x+1) som blir -2, när x=0.

    Rätt alternativ: a)