Lösning av TMA305 Envariabelanalys I, del a, 03 01 13

1. Man har $f(x)\rightarrow \infty,$ när $x\rightarrow \pm \infty,$ så f antar säkert ett minsta värde. Detta antas när f'(x)=0. Man har
   
   $$\begin{eqnarray*} f'(x)&=&x-3/2+\frac{1}{1+x^{2}}=\frac{x^{3}-3x^{2}/2+x-1/2}{... ...^{2}-x/2)+1/2}{x^{2}+1}=\frac{(x-1)((x-1/4)^{2}+7/16)}{x^{2}+1} \end{eqnarray*}$$
   
   så enda nollstället är x=1 och där är $f(1)=\pi/4-1$.
    
   Svar: $\pi/4-1$.

 

2. Man ska bestämma a så att kvoten
   
   $$\begin{eqnarray*} Q=\frac{x-3}{(x-1)(x+2)}+\frac{a}{(x+1)(x+2)}=\frac{(x-3)(x+1)+a(x-1)}{(x^{2}-1)(x+2)} \end{eqnarray*}$$
   
   har ett gränsvärde när $x\rightarrow -2$. Eftersom nämnaren går mot 0 när $x\rightarrow -2,$ måste även täljaren göra det för att gränsvärdet ska finnas. Detta ger a=5/3. Insättning av detta och förkortning med x+2 ger
   
   $$\begin{eqnarray*} Q=\frac{x-7/3}{(x+2)(x^{2}-1)}\rightarrow -\frac{13}{9} \end{eqnarray*}$$
   
   som ska vara b för kontinuitet.
    
   Svar: a=5/3 och b=-13/9.

 

3.    (a) Man har
   
   $$\begin{eqnarray*} \int_{3}^{8}\frac{\sqrt{t+1}}{t+\sqrt{t+1}+1}\,dt&=&\left\{x... ...\Big)\, dx=\\ &=&\Big[2x-2\ln(x+1)\Big]_{2}^{3}=2-2\ln(4/3) \end{eqnarray*}$$
   
   
    
   Svar: $2-2\ln(4/3)$
    
      (b) Man har
   
   $$\begin{eqnarray*} \int 2x\ln(x+1)\,dx&=&\left\{\mbox{PI}\right\}=(x^{2}-1)\l... ...(x^{2}-1)\ln(x+1)-\int (x-1)\,dx=(x^{2}-1)\ln(x+1)-(x-1)^{2}/2 \end{eqnarray*}$$
   
   
    
   

 
   6. Man har $f'(x)=\ln x+x/x$ så att $f'(1)=1+\ln 1=1$
 
Svar: 1.
 
   7. Man har f^-1(1)=2 och (df^-1/dx)(1)=1/f'(2)=3.
 
Svar: 3.
 
   8. Man har

$$\begin{eqnarray*} \int (t^{2}+1)\cos t \, dt&=&\left\{\mbox{Pi}\right\}=(t^{... ...(-t\cos t+\int \cos t\,dt)=(t^{2}+1)\sin t+2t\cos t+2\sin t. \end{eqnarray*}$$

 
Svar: $(t^{2}+3)\sin t+2t\cos t$.
 
   9. Man har x'=2t/(1+t⁴) och y'=2t som ger tangentvektorn (1,2), när t=1. Tangetlinjen har alltså riktingskoefficienten 1/2 och går genom $(\arctan(1),1+1)=(\pi/4,2)$. Detta ger ekvationen $y=2(x-\pi/4)+2$.
 
Svar: $y=2(x-\pi/4)+2$.
 
   10. Man har

$$\begin{eqnarray*} \frac{a}{t-2}+\frac{2}{t^{2}-4}=\frac{a(t+2)+2}{t^{2}-4} \end{eqnarray*}$$

Eftersom nämnaren går mot 0 när $t\rightarrow 2,$ måste även täljaren göra det om graänsvärdet ska existera. Detta ger 0=4a+2, eller a=-1/2, så att uttrycket blir

$$\begin{eqnarray*} \frac{-(t+2)/2+2}{t^{2}-4}=\frac{-(t-2)/2}{t^{2}-4}=-\frac{1/2}{t+2}\rightarrow -\frac{1}{8}, \end{eqnarray*}$$

när $t\rightarrow 2$. Svar: -1/8.
 
   11. Man har

$$\begin{eqnarray*} \int_{0}^{1}\frac{x}{\sqrt{1-x^{2}}}\,dx&=&\Big[-\sqrt{1-x^{2}}\Big]_{0}^{1}\\ &=&1 \end{eqnarray*}$$

 
Svar: 1.