Tentamen i TMA 305 Envariabelanalys I, del A, 01 10 25, kl 8.45-11.45.

1.

Finns det något plan som går genom de fyra punkterna (2,5,3), (-2,1,2), (3,-1,-2) och (1,2,1)? Motivera svaret noggrant!

2.

Bestäm konstanten a så att funktionen

$$f(x)= \left\{ \begin{array} {lcl} -2+\ln(x+1)/x &\mbox{ när }& x\neq 0\\ a & \mbox{ när } & x=0,\end{array}\right.$$

som är definierad för x>-1, blir deriverbar över allt. Är derivatan kontinuerlig?

3.

Man drar en tangentlinje till funktionen f(x)=e^-x i en punkt (a,f(a)), där a>0. Den skär x- och y-axeln i P respektive Q och man låter A vara arean av triangeln med hörn i dessa båda punkter samt origo. Har A ett största eller minsta värde? Vad är de i så fall?

4.

(a)

Vad menas med en över- respektive undersumma till en funktion f som är begränsad på ett intervall [a,b]? (Ge en matematisk definition.)

(b)

Hur lyder definitionen av att en funktion f, som är begränsad på [a,b], är integrerbar? Vad betyder i så fall $\int_{a}^{b}f(x)\,dx$?

(c)

Funktionen f(x) definieras som f(x)=2^x, när x är ett rationellt tal och f(x)=1 annars. Existerar $\int_{1}^{2}f(x)\,dx$? Motivera noggrant!

5.

Formulera och bevisa medelvärdessatsen.

JAS