$\textstyle\parbox{6cm}{MATEMATIK \\ Chalmers tekniska högskola\\ \\ Skriv n... ...nummer på varje inlämnat papper och linje samt inskrivningsår på omslaget\\ }$ $\textstyle\parbox{6cm}{Hjälpmedel: typgodkänd räknare\\ Tele: Mats Kjaer \\ 0740-45 90 22\\ }$

Tentamen i TMA 305 Envariabelanalys I, del A, 02 01 14, kl 8.45-11.45.

1.
En partikel rör sig längs den räta linjen genom punkterna (0,3,-2) och (1,5,0). Vad är det minsta avståndet mellan partikeln och punkten (4,2,6)?

2.
Bestäm konstanten a så att funktionen

\begin{displaymath} f(x)= \left\{ \begin{array} {rl} (\ln(x+1)-x)/x^2 & \mbox... ... och } x\neq 0 \\ a & \mbox{ när } x=0, \end{array} \right. \end{displaymath}

blir deriverbar i x=0. Bestäm också derivatan.

3.
Man vill göra ett tält med utseende som i figuren och med given volym V.


\includegraphics [scale=.5]{talttak.eps}

(a)
Visa att en likbent triangel har störst area när den är rätvinklig.
(b)
Hur ska tältet se ut om man vill att gavlarna ska vara rätvinkliga likbenta trianglar och att materialåtgången ska vara minst möjlig? Tältet ska sakna golv.

4.
(a)
Hur lyder den precisa matematiska definitionen av uttrycket $\lim_{x\rightarrow a}f(x)=A$?
(b)
Hur lyder den precisa matematiska definitionen av att funktionen f(x) är deriverbar i x=a?
(c)
Visa utgående från definitionen att funktionen f(x)=x3 är deriverbar i varje punkt.

5.
Visa att en kontinuerlig funktion på intervallet [a,b] är begränsad.

Efter skrivningstidens slut finns förslag till lösningar på kursens webbsida:

http://www.math.chalmers.se/Math/Grundutb/CTH/tma305a/0102/


JAS