Tentamen i TMA 305 Envariabelanalys I, del A, 02 10 21, kl 14.15-18.15.

 
1. På ellipsen x²/4+y²=1 väljs en punkt P=(a,b) i första kvadranten. Man vill välja P så att arean av triangeln med hörn i (0,1), P och (2,0) har störst möjlig area. Vad ska P vara?
 
2. Bestäm konstanterna a och b så att funktionen

$$f(x)=\left\{ \begin{array}{lcr} (\ln(ax+1)-2x)/x^{2} & ... ...r }& x\neq 0\\ b & \mbox{ när } & x=0 \end{array}\right.$$

blir deriverbar. För vilka x är funktionen definierad? Är derivatan kontinuerlig? Motivera noggrant!
 
3. Beräkna
 
       (a)

$$\int\frac{\cos t}{\sqrt{1+\cos^{2}t}}\,dt$$

 
       (b)

$$\int_{2}^{\infty}\frac{5t+4}{2t^{3}+3t^{2}+2t-2}\, dt$$

om den konvergerar. Visa annars att den divergerar.
 
4.
       (a) Vad är den precisa matematiska innebörden av att $f(x)\rightarrow A,$ när $x\rightarrow a$?
 
       (b)Vad är den precisa matematiska innebörden av att funktionen f(x) är kontinuerlig i x=a?
 
       (c) Visa att f(x) är kontinuerlig i x=a, om f(x) är deriverbar i x=a.
 
5. Visa att om en funktion f(x) är kontinuerlig på intervallet [a,b], så är den också integrerbar över intervallet.
 
Under kursens gång har det förekommit löpande examination. Den maximala poängen från denna är 18. Om Du vill komplettera Din poäng från detta moment kan Du lösa uppgifter nedan. Inom parentes vilka uppgifter som är aktuella för Dig. T.ex. anger (< 12) att uppgiften gäller Dig vars poäng från den löpande examinationen är < 12. Bara korrekt valda uppgifter kommer att beaktas!
 
Varje uppgift kan ge tre poäng. Fullständiga lösningar krävs för poäng!
 

 
6. (<3) Bestäm f'(1) när f(x)=x2^x.
 
7. (<6) Man vet att f'(2)=1/3, g(1)=2 och g'(1)=9. Bestäm derivatan av f(g(x)), när x=1.
 
8. (<9) Beräkna $\int (t^{2}+1)e^{t}\,dt$.
 
9. (<12) En parametriserad kurva i planet ges av $x(t)=\arctan(x),$ $y(t)=\ln(\sqrt{t}),$ där t>0. Bestäm en ekvation för tangentlinjen till kurvan när t=1.
 
10. (<15) Bestäm konstanten a så att

$$\frac{1}{t-1}+\frac{a}{t^{2}-1}$$

har ett gränsvärde när $t\rightarrow 1$. Bestäm också gränsvärdet i detta fall.
 
11. (<18) Beräkna

$$\int_{1/2}^{2}\frac{x}{\sqrt{2+x-x^{2}}}\, dt$$

om den konvergerar. Visa annars att den divergerar. JAS