Dugga i TMA 305B Envariabelanalys I, del B, 02 11 23, kl 8.45-10.45.

 

1. Ett plan har normalen (1,2,3) och går genom (1,1,1). Vilken ekvation har planet?

   a) x+2y+3z-3=0    b) x+y+z=6    c) x+2y+3z=6
   d) -x+2y-z=0    e) -x+2y-z=3

2. Man vet att $\stackrel{\rightarrow}{\mathbf u}=(1,2,3)$ och $\stackrel{\rightarrow}{\mathbf v}=(2,-1,3)$. Vad är då $\stackrel{\rightarrow}{\mathbf u}\times \stackrel{\rightarrow}{\mathbf v}$?

   a) (9,3,-5)    b) (1,1,1)    c) (-9,-3,1)    d) (18,6,-10)    e) (1,-2,1)

3. Man vet att $\stackrel{\rightarrow}{\mathbf v}=(2,3,11)$ och att $\stackrel{\rightarrow}{\mathbf u}=(1,-2,2)$. Vad är den ortogonala projektionen av $\stackrel{\rightarrow}{\mathbf v}$ längs $\stackrel{\rightarrow}{\mathbf u}$?

   a) (2,-4,4)    b) (-1,2,-2)    c) (3,-6,6)    d) (4,6,22)    e) (-2,-3,-11)

4. Man har punkterna P=(1,3,5), Q=(2,-1,-4) och R=(-3,1,2). Vad är S om
   
   $$\stackrel{\rightarrow}{PQ}+2\stackrel{\rightarrow}{QR}+3\stackrel{\rightarrow}{RS}= \stackrel{\rightarrow}{\mathbf 0}?$$
   
   

   a) (0,0,1)    b) (1,0,1)    c) (1,1,0)    d) (0,1,1)    e) (1,0,0)

5. Området i figuren, som begränsas uppåt av $y=\sqrt{x},$ roterar runt x-axeln så att man får en kropp. Vad är kroppens volym?
   

   a) $\sqrt{2}$    b) $\pi\sqrt{2}$    c) $\pi/2$    d) $\pi/\sqrt{2}$    e) 1/2.

6. När en tunn inhomogen metallstång av längd 1 m placeras längs positiva x-axeln med ena änden i origo ges densiteten i x av $\rho(x)=1/(1+x^{2})$ kg/m. Vilken massa har stången?

   a) $4\ln 2$    b) 4/17    c) 4    d) $\pi/4$    e) $\pi/2$

7. Vad är masscentrum (tyngdpunkten) av den tunna homogena kvartscirkelskivan i figuren ?
   

   a) $(\pi,1)$    b) $(\pi R/13,\pi R/13)$    c) (R/13,R/13)    d) $(4R/(3\pi),4R/(3\pi))$    e) $(R/\sqrt{2},R/\sqrt{2})$

8. En 10 m lång kätting med densiteten 2 kg/m hänger ned från en ställning 15 m över marken. Vilket (minsta) arbete krävs för att dra upp den? (g är tyngdaccelerationen, alternativen har sorten joule)

   a) 100g    b) 200g    c) 200g²    d) 200    e) 15²g

9. En av figurerna nedan illustrerar riktningsfältet till differentialekvationen y'=y/(1+x²). Vilken?

   a)		b)		c)
   d)		e)

10. Man vet att y(x) löser differentialekvationen y'=y/(1+x²) och att y(0)=1. Vad är y(1)?

    a) $e^{\pi/4}$    b) $e^{\pi}$    c) $\sqrt{\pi}$    d) $\pi/2$    e) $\pi$

11. Man vet att y(x) löser differentialekvationen y'-2xy=2x³ och att y(0)=-1. vad är y(-1)?

    a) 3    b) -2    c) -3    d) 2    e) 1

12. Den parametriserade kurvan (x(t),y(t)) löser systemet
    
    $$\left\{ \begin{array}{rcrcr} dx/dt&=& 2x&-&3y\\ dy/dt&=& x&-&2y \end{array}\right.$$
    
    
    och går genom (4,2) när t=0. Vilken av följande vektorer har en riktning som bäst stämmer överens med hastighetens vid tiden t=1?

    a) (3,1)    b) (2,-1)    c) (1,1)    d) (1,2)    e) (2,3)