Lösning av TMA305 Envariabelanalys I, del B, 02 12 14

 

1. a)  Vi ser att y=0 och y=1 är lösningar. Antag därför att $y\neq 1, 0$ och att x>0. Division ger (separation av variabler)
   
   $$\frac{dy}{y(y-1)}=\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx.$$
   
   
   Eftersom
   
   $$\int\frac{dy}{y(y-1)}=\{\mbox{PBU}\}=\int\Big(\frac{1}{y-1}-\frac{1}{y}\Big)\,dy=\ln\Big\vert\frac{y-1}{y}\Big\vert$$
   
   
   och
   
   $$\int\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx=2\sqrt{x}$$
   
   
   ger integration
   
   $$\ln\Big\vert\frac{y-1}{y}\Big\vert=2\sqrt{x}+C,$$
   
   
   där C är en godtycklig konstant. Exponentiering och bortagning av absolutbelopp ger
   
   $$\frac{y-1}{y}=C_{1}e^{2\sqrt{x}}=f(x),$$
   
   
   där C₁ är en godtycklig konstant $\neq 0$. Omskrivning ger
   
   $$y-1=yf\mbox{ eller }y(1-f)=1$$
   
   
   Division ger sedan
   
   $$y=\frac{1}{1-C_{1}e^{2\sqrt{x}}},$$
   
   
   där vi ser att vi även kan välja C₁=0, som ger y=1.
    
   Svar: $y=1/(1-Ce^{2\sqrt{x}}),$ där C är godtycklig, samt y=0, för alla x.
    
   b)  Division ger
   
   $$y'+\Big(\frac{1}{x}-1\Big)y=x,$$
   
   
   som har den integrerande faktorn
   
   $$e^{\ln x-x}=xe^{-x}.$$
   
   
   Multiplikation med denna ger
   
   D(xe^-xy)=x²e^-x,
   
   
   som integreras till
   
   $$\begin{eqnarray*} xe^{-x}y&=&C+\int x^{2}e^{-x}\,dx=\{\mbox{ PI }\}=C-x^{2}e... ...&C-x^{2}e^{-x}-2xe^{-x}+2\int e^{-x}\,dx=C-(x^{2}+2x+2)e^{-x}. \end{eqnarray*}$$
   
   Division ger nu
   
   $$y=\frac{C}{x}e^{-x}-\Big(x+2+\frac{2}{x}\Big),$$
   
   
   där C är en godtycklig konstant.
    
   Svar: y=(C/x)e^-x-(x+2+2/x), där C är godtycklig

 

2. Rad 1 ger y=2x-x', som i rad 2 ger 2x'-x''=x+2(2x-x') eller x''-4x'+5x=0,
   
   som har den karaktäristiska ekvationen med r²-4r+5=0 med rötterna $r=2\pm i$. Lösningarna till (1) är alltså $x(t)=e^{2t}(A\cos t+B\sin t)$. Eftersom x(0)=0 och x'(0)=2x(0)-y(0)=-1 får man
   
   $$\left\{ \begin{array}{rcl} 0&=&1\cdot(A\cdot 1+B\cdot 0)\... ...dot 1+B\cdot 0)+1\cdot(A\cdot 0+B\cdot 1), \end{array}\right.$$
   
   
   eller A=0, B=-1, så
   
   $$x(t)=-e^{2t}\sin t.$$
   
   
   Härav får man
   
   $$y(t)=2x-x'=e^{2t}\cos t.$$
   
   
   Svar: $x(t)=-e^{2t}\sin t$ och $y(t)=e^{2t}\cos t$.
    
   
3. a)  Följden $\cos(n\pi/3),$ $n\geq 0$ är
   
   $$1,\,\frac{1}{2},\,-\frac{1}{2},\,-1,\,-\frac{1}{2},\,\frac{1}{2},\,1,\mbox{ etc.}$$
   
   
   Man ser att kvoten mellan ett tal och dess omedelbara föregångare är 1/2, -1 eller 2. Sätter vi
   
   $$a_{n}=\frac{\cos(n\pi/3)}{n!}$$
   
   
   har man
   
   $$0\leq\Big\vert\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\Big\vert\leq 2\frac{n!}{(n+1)!}=\frac{2}{n},$$
   
   
   som går mot 0, när $n\rightarrow \infty$. Potensseriens konvergensradie är alltså $\infty$.
    
   Svar: $\infty$.
    
   b)  Med a_n som ovan har man att
   
   $$P''-P'+P=\sum_{i=0}^{\infty}\Big((i+2)(i+1)a_{i+2}-(i+1)a_{i+1}+a_{i}\Big)x^{i}.$$
   
   
   Koefficienten framför xⁿ i detta är
   
   $$\frac{1}{n!}\Big(\cos((n+2)\pi/3)-\cos((n+1)\pi/3)+\cos(n\pi/3)\Big),$$
   
   
   men från beskrivningen av följden $\cos(n\pi/3)$ ovan ser man att detta är 0. Detta visar att P''-P'+P=0.
    
   c)  Ekvationen y''-y'+y=0 har den karaktäristiska ekvationen r²-r+1=0 med lösningarna $r=1/2\pm\sqrt{3}/2$. Ekvationen har alltså lösningarna
   
   $$y=e^{x/2}(A\cos \sqrt{3}x/2 + B\sin \sqrt{3}x/2).$$
   
   
   Eftersom P(0)=1 och P'(0)=1/2 får vi
   
   $$\left\{ \begin{array}{rcl} 1&=&1(A+0)\\ 1/2&=&(1/2)(A+0)+1(0+\sqrt{3}B/2), \end{array}\right.$$
   
   
   som ger A=1 och B=0. Man får $P(x)=e^{x/2}\cos \sqrt{3}x/2$.
    
   Svar: $P(x)=e^{x/2}\cos \sqrt{3}x/2$.
    
   

6.  Eftersom (1,2,3) är en normal till planet har det ekvationen x+2y+3z=d. Eftersom det går genom (1,1,1) får man 1+2+3=d. Vi har $1(-1)+2\cdot 2+3\cdot 1=6,$ så (1,-2,1) ligger i planet.
 
Svar: Ja
 
7.  Den geometriska serien ger

$$\frac{1}{1-x}=1+x+x^{2}+x^{3}+\ldots+x^{n}+\ldots$$

Substitueras x med -x² får man

$$\frac{1}{1+x^{2}}=1-x^{2}+x^{4}-x^{6}+\ldots+(-1)^{n}x^{2n}+\ldots$$

som är Taylorserien kring 0. Taylor polynomet av ordning 6 kring 0 är därför

p₆=1-x²+x⁴-x⁶.

Svar: p₆=1-x²+x⁴-x⁶
 
8.  Sätt P=(1,1,1), Q=(2,2,3) och R=(1,2,3) och låt d vara avståndet mellan R och linjen genom de två övriga punkterna. Parallellogramen som spänns av $\stackrel{\rightarrow}{PQ}=(1,1,2)$ och $\stackrel{\rightarrow}{PR}=(0,1,2)$ har arean ||(1,1,2) x (0,1,2)||, men också d||(1,1,2)||. Eftersom

$$(1,1,2)\times(0,1,2)=\left\{ \begin{array}{rcrcr} 1&1&2\\ 0&1&2 \end{array}\right\}=(0,-2,1)$$

ger detta

$$\sqrt{0+4+1}=d\sqrt{1+1+4},$$

så $d=\sqrt{5/6}$.
 
Svar: $\sqrt{5/6}$
 
9.  Ett snitt med ett plan genom x på x-axeln vinkelrätt mot denna ger som snitt med kroppen en cirkelskiva med radie 1+x². Arean av denna är

$$A(x)=\pi(1+x^{2})^{2}.$$

Skivformeln ger nu att volymen är

$$\pi\int_{0}^{2}(1+2x^{2}+x^{4})\,dx=\pi\Big[x+2x^{3}/3+x^{5}/5 \Big]_{0}^{2}=\frac{206\pi}{15}.$$

Svar: $206\pi/15$
 
10.  Sätt P=(1,2,1), Q=(2,3,2) och R=(1,4,p). Då är

$$\stackrel{\rightarrow}{\mathbf v}=\stackrel{\rightarrow}{PQ}=... ...el{\rightarrow}{\mathbf u}=\stackrel{\rightarrow}{PR}=(0,2,p-1)$$

Parallellogramen som spänns av dessa har area

$$\vert\vert\stackrel{\rightarrow}{\mathbf v}\times\stackrel{\rightarrow}{\mathbf u}\vert\vert=2\sqrt{2}.$$

Eftersom

$$\stackrel{\rightarrow}{\mathbf v}\times\stackrel{\rightarro... ...{rrr} 1&1&1\\ 0&1&p-1 \end{array}\right\}=(p-1-2,1-p,2),$$

så får man

(p-3)²+(1-p)²+4=8.

Detta ger 2p²-8p+14=8, som har lösningarna p=1 och p=3.
 
Svar: p=1 och p=3
 
11. Sätt $p(x)=\sum_{i}a_{i}x^{i},$ där $a_{n}=(-1)^{n}/(n\cdot 2^{n})$. Vi har då att $P(x)=\sum_{i}a_{i}x^{2i+1}=xp(x^{2})$. Vi har

$$\Big\vert\frac{a_{n+1}}{a_{n}}\Big\vert=\frac{n\cdot 2^{n}}{(n+1)2^{n+1}}=\frac{n}{n+1}\frac{1}{2},$$

som går mot 1/2, när $n\rightarrow \infty$. Detta ger att p(x) har konvergensradien R=2, så P(x)=xp(x²) konvergerar när |x²|<2, dvs när $\vert x\vert<\sqrt{2}$ och divergerar när $\vert x\vert>\sqrt{2}$. När $x=-\sqrt{2}$ är $P(\sqrt{2})=-\sqrt{2}\sum_{i}1/i.$ När $x=\sqrt{2}$ är $P(\sqrt{2})=\sqrt{2}\sum_{i}1/i$. Eftersom $\sum_{i}1/i$ är divergent är P(x) divergent när $x=\pm\sqrt{2}$.
 
Svar: När $-\sqrt{2}<x<\sqrt{2}$.