Lösningar till TMA305b Envariabelanalys I, del b, 03 04 17

1.

Division ger separation av variabler:

$${\frac{{y\,dy}}{{1+y^{2}}}}$$ = $${\frac{{1}}{{x^{2}}}}$$cos(1/x) dx.

Integration av detta ger

$${\frac{{1}}{{2}}}$$ln(1 + y²) = - sin(1/x) + C,

för någon konstant C.

Multiplikation med 2 och exponentiering ger sedan

1 + y² = De^{-2 sin(1/x)},

där D är en positiv konstant.

Villkoret y(2/$\pi$) = 0 ger nu 1 = De^-2, så D = e^-2. Vi får

Svar: y = ±$\sqrt{{e^{2(1-\sin(1/x))}-1}}$

2.

Första ekvationen ger y = - x' + x, som insatt i den andra ger - x'' + x' = - 3x' + 4x eller x'' - 4x' + 4x = 0. Denna ekvation har den karaktäristiska ekvationen 0 = $\lambda^{{2}}_{}$ - 4$\lambda$ + 4 = ($\lambda$ - 2)² som har lösningen $\lambda$ = 2.

Detta ger x(t) = (A + Bt)e^2t, för lämpliga tal A och B. Vi set att x(0) = 1 och från den första ekvationen i systemet också att x'(0) = 1 + 0 = 1. Detta ger oss villkoren A = 1 och B = - 1, så x(t) = (1 - t)e^2t

Från y = - x' + x får vi nu y(t) = te^2t.

Svar: x(t) = (1 - t)e^2t och y(t) = te^2t.

3.

(a)

Om serien $\sum$(i!)3xi/((3i)!3i+1) har konvergensradien R kommer den ursprungliga serien att ha konvergensradien $\sqrt{{R}}$. Konvergensradien R kan beräknas som R = 1/L, där L är gränsvärdet (när i $\rightarrow$ $\infty$) av $${\frac{{((i+1)!)^{3}}}{{(3i+3)!3^{i+2}}}}$$$${\frac{{(3i)!3^{i+1}}}{{(i!)^{3}}}}$$ = $${\frac{{(i+1)^{3}}}{{(3i+3)(3i+2)(3i+1)3}}}$$ = $${\frac{{(1+1/i)^{3}}}{{(3+3/i)(3+2/i)(3+1/i)3}}}$$. Vi ser att L = 1/92, så konvergensradien för den ursprungliga serien är 9. Svar: 9.

(b)

Om vi sätter x = 1/3 är serien $\sum$(- 1)ixi/(2i + 1), som verkar svår så vi sätter x = 1/$\sqrt{{3}}$, och serien är (1/x)p(x), där p(x) = $\sum$(- 1)ix2i+1/(2i + 1), vars derivata är $\sum$(- 1)ix2i = 1/(1 + x2), eftersom den är en geometrisk serie. Den konvergerar när | x| $\leq$ 1, vilket gäller när x = 1/$\sqrt{{3}}$. Integration ger p(x) = arctan x, (eftersom p(0) = 0) så $$\sum_{{i=0}}^{{\infty}}$$$${\frac{{(-1)^{i}}}{{(2i+1)3^{i}}}}$$ = $$\sqrt{{3}}$$p(1/$$\sqrt{{3}}$$) = $$\sqrt{{3}}$$arctan(1/$$\sqrt{{3}}$$) = $$\sqrt{{3}}$$$$\pi$$/6. Svar: $\sqrt{{3}}$$\pi$/6.

4.

(c)

Vi har x' = 1 och y' = $${\frac{{1+t/\sqrt{t^{2}-1}}}{{t+\sqrt{t^{2}-1}}}}$$ = $${\frac{{1}}{{\sqrt{t^{2}-1}}}}$$ som ger båglängden $$\int_{{2}}^{{3}}$$$$\sqrt{{(x')^{2}+(y')^{2}}}$$ dt = $$\int_{{2}}^{{3}}$$t/$$\sqrt{{t^{2}-1}}$$ dt = $$\Big[$$$$\sqrt{{t^{2}-1}}$$$$\Big]_{{2}}^{{3}}$$ = $$\sqrt{{8}}$$ - $$\sqrt{{3}}$$. Svar: $\sqrt{{8}}$ - $\sqrt{{3}}$.

6.

Planets ekvation är

0 = (1, 2, 3) ^. (x, y - 1, z + 2).

Insättning av (1, 1, 1) ger 0 = 10 vilket inte stämmer så punkten ligger inte i planet.

Svar: Punkten ligger inte i planet

7.

Man har cos(t) = 1 - t²/2! + t⁴/4! -..., kring t = 0. För t = 2x får vi Taylorpolynomet 1 - 2x + 2x⁴/3 för cos(2x) kring x = 0.

Svar: 1 - 2x + 2x⁴/3.

8.

Punkten (4, 0, 0) ligger i planet. Avståndet ges av längden av den ortogonala projektionen av vektorn (1 - 4, 1, 1) längs normalen (1, 2, 3). Denna längd är

$${\frac{{\vert(-3,1,1)\cdot(1,2,3)\vert}}{{\vert(1,2,3)\vert}}}$$ = $${\frac{{2}}{{\sqrt{14}}}}$$.

Svar: 2/$\sqrt{{14}}$.

9.

Volymen ges enligt skivformeln av

$$\pi\int_{1}^{\sqrt{2}}x^{2}\,dy=\pi\int_{1}^{\sqrt{2}}(y^{2}-1)\,dx=\pi\Big[y^{3}/3-y\Big]_{1}^{\sqrt{2}}=\pi(2-\sqrt{2})/3$$

Svar: $\pi(2-\sqrt{2})/3$.

10.

Den homogena ekvationen y'' - y = 0 har den karaktäristiska ekvationen $\lambda^{{2}}_{}$ - 1 = 0, med lösningarna $\lambda$ = ±1. Lösningsformeln ger y_h = Ae^x + Be^-x.

Ansättning med y = a + bx + cx² och insättning i den inhomogena ekvationen ger 2c - a - bx - cx² = x², så c = - 1, b = 0 och a = - 2, dvs y_p = - (2 + x²).

Lösningen är alltså av formen y = Ae^x + Be^-x - (2 + x²). Villkoren y(0) = y'(0) = 1 ger nu A + B - 2 = 1 och A - B = 1, så A = 2 och B = 1.

Svar: y(x) = 2e^x + e^-x - (2 + x²).

11.

Potensseriens konvergensradie är R = 1/L, där L är gränsvärdet (när k $\rightarrow$ $\infty$)

$${\frac{{1}}{{\sqrt{k+1}}}}$$$${\frac{{\sqrt{k}}}{{1}}}$$ = $${\frac{{1}}{{\sqrt{1+1/k}}}}$$

som är 1. Detta ger att serien konvergerar när -1 < x < 1.

När x = 1 är serien alternerande och avtagande och därför konvergent.

När x = - 1 är serien $\sum$1/$\sqrt{{k}}$ som är känd som divergent.

Svar: -1 < x $\leq$ 1.