MATEMATIK
Chalmers
 
Envariabelanalys I, del B, H02

Repetitionsuppgifter

1. För vilka värden på p är de tre punkterna (1,2,3), (3,1,2) och (2,1,p) hör i en rätvinklig triangel?

2. För vilka värden på p har punkten (2,1,p) avståndet 1 till planet x+2y+3z=6?

3. Bestäm, om möjligt, talet p så att avståndet mellan (2,3,p) och linjen genom (1,2,3) och (3,1,2) är 1.

4. Ett plan är vinkelrätt mot planet x+2y+3z=0 och går genom origo och (1,1,1). Bestäm en ekvation för planet.

5. Bestäm alla funktioner f(x) som har egenskapen att alla normaler till grafen går genom (0,1).

6. En partikel, som vid tiden t=0 befinner sig i (1,0), rör sig i planet enligt en parametriserad kurva (x(t),y(t)), som löser systemet

   
   

   $$\left\{ \begin{array}{rcl} x'&=&2x-3y\\ y'&=&3x+2y. \end{array}\right.$$
   
   
   Hur långt färdas partikeln mellan tiden t=0 och t=1?

7. Lös ekvationen y''-2y'+y=e^3t+e^t.

8. Bestäm den lösning till y''-y=e^2t som uppfyller y(0)=0 och y'(0)=1.

9. Låt f(t) vara funktionen som är 1, när $t<\pi$ och 0, när $t>\pi$. Bestäm den funktion y(t) som har kontinuerlig derivata för alla t och som för alla $t\neq \pi$ löser
   
   y''(t)+y(t)=f(t)
   
   
   och dessutom y(0)=0 samt y'(0)=0. Ledning: Lös först ekvationen för två lämpligt valda intervall.

10. Figuren nedan visar graferna till tre funktioner som är lösningar till en och samma differentialekvation. Ange en sådan och lös den fullständigt.

    Det finns många svar och Du behöver bara ta hänsyn till det principiella uppförandet hos lösningarna.

    

11. Låt a vara en konstant och betrakta differentialekvationen
    
    y''+2ay'+(a²+1)y=a²+1
    
    
    med begynnelsevärdena y(0)=y'(0)=1.
    1. Lös differentialekvationen för varje värde på a.
    2. Beroende på a kan tre olika beteenden iakttas hos y(t), när $t\rightarrow \infty$. Beskriv dessa tre fall.

12. Bestäm den lösning till y'(y+1)=t, som uppfyller y(0)=1.

13. Lös inte följande ekvationer analytiskt, utan skissa istället grafen till lösningen. Det ska framgå vad som händer när $t\rightarrow \infty$. I samtliga fall är y en funktion av t.
    1. y'=y²(y-2) och y(0)=1.
    2. y'=(y²-1)(3-y) och y(0)=0.
    3. y'=(y-1)²(3-y) och y(0)=0.
    4. y'=(y-1)²(3-y) och y(0)=2.
    5. $y'=y\ln(10/y)$ och y(0)=2.

14. Beräkna
    
    $$\sum_{i=2}^{\infty}\frac{1}{2^{i}i(i-1)}.$$
    
    

15. Bestäm konvergensradien till
    
    $${\rm a)~~~}\sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^{3i}}{2^{i}} {\rm\hspa... ... och \hspace{5mm} b)~~~} \sum_{i=0}^{\infty}5^{(-1)^{i}}x^{i}.$$
    
    

16. Lös differentialekvationen
    
    $$4ty''+2y'+y=0,\hspace{5mm}y(0)=1,$$
    
    
    genom att ansätta $y(t)=\sum_{i=0}^{\infty}a_{i}t^{i}$. Lösningen kan uttryckas med elementära funktioner. Hur?

17. Beräkna summan av serien
    
    $$1+\frac{x^{3}}{3}+\frac{x^{6}}{6}+\frac{x^{9}}{9}+\ldots.$$
    
    
    För vilka x konvergerar serien?

18. Konvergerar eller divergerar serien
    
    $$\mbox{ a)~~~} \sum_{i=0}^{\infty}(-1)^{i}e^{-i^{2}}\mbox{ \hspace{5mm}b)~~~\hspace{5mm}}\sum_{i=0}^{\infty}e^{-i^{2}}?$$
    
    

19. Konvergerar eller divergerar
    
    $$\mbox{ a)~~~} \sum_{i=1}^{\infty}(-1)^{i}\frac{\ln i}{i}\mbo... ...space{5mm}b)~~~\hspace{5mm}}\sum_{i=1}^{\infty}\frac{\ln i}{i}?$$
    
    

20. Visa att serien
    
    $$y=1+\frac{t^{4}}{4!}+\frac{t^{8}}{8!}+\ldots$$
    
    
    löser ekvationen
    
    $$y''-y=-\cos(t),~~~y(0)=1,\,y'(0)=0.$$
    
    
    Bestäm seriens summa.

21. 1. Beräkna summan av serien
       
       $$\sum_{i=0}^{\infty}\frac{3^{i}+4^{i}}{5^{i}}.$$
       
       

    2. Bestäm konvergensradien till
       
       $$\sum_{i=0}^{\infty}\frac{(i!)^{2}}{(2i)!}x^{i}.$$
       
       

22. Betrakta funktionen
    
    $$f(x)=e^{x}+\sin x +\cos x -2x.$$
    
    
    1. För x nära 0 kan funktionen approximeras med ett polynom av formen y=a+bx^p, där b och $p\not= 0$. Hur ska a, b och p väljas?

    2. Vad kan Du med hjälp av resultatet i (a) säga beträffande om funktionen har lokalt maximum, lokalt minimum eller ingetdera i punkten x=0?

23. Låt
    
    $$f(x)=\frac{1}{\sqrt{(x+1)(x+2)}},\hspace{5mm}0\leq x\leq \infty.$$
    
    
    1. Har rotationskroppen som uppkommer när kurvan y=f(x) roterar runt x-axeln ändlig volym? Bestäm den i så fall.
    2. Har arean som ligger mellan kurvan och x-axeln ändlig volym? Bestäm den i så fall.

24. När ellipsskivan $4x^{2}+9y^{2}\leq 36$ roterar runt x-axeln uppkommer en kropp. Bestäm dennas volym.

25. 10 000 kronor sätts in på ett konto med 5% kontinuerlig ränta (kontinuerlig kapitalisering) och rörs sedan inte.
    1. Beskriv med hjälp av en differentialekvation behållningen på kontot vid olika tider t.

    2. Lös denna ekvation med minst två olika metoder.

26. Området som begränsas av kurvan y=(1-x)x, $0\leq x\leq 1,$ och x-axeln roterar runt x-axeln. Bestäm volymen av den kropp som då uppkommer.

27. Kurvan x=f(y), där f(y)>0 och y>0 roterar runt y-axeln. Man får en behållare med hål i botten. Enligt Torricellis ekvation är hastigheten med vilken volymen på en vätska i behållaren rinner ut proportionell mot kvadratroten av vätskans höjd i behållaren.

    Om behållaren är så beskaffad att vätskans höjd avtar i konstant takt, hur ser då behållaren ut (bestäm f(x)).

28. Cirkeln (x-1)²+y²=1 i x,y-planet är bas i en homogen kon med spets i (0,0,4). Bestäm z-koordinaten för konens masscentrum.

29. En skålformad behållare beskrivs av att man låter kurvan y=x², $0\leq x\leq 4$ (4 meter) rotera runt y-axeln. Den är fylld till höjden 10 m av en oljeblandning som skiktat sig så att densiteten på höjden h är 800-10h kg/m³.

    Vilket arbete krävs för att pumpa upp alla olja till behållarens kant?

30. Ett företag vill bestämma nuvärdet av framtida intäkter av en investering. Intäkterna räknas (årligen) i slutet av varje år och man räknar med att intäkten år ett är 10 miljoner kronor och att den sedan ökar så att de följande årens intäkter är 12, 14, 16,$\ldots$ miljoner kronor. Vad blir nuvärdet av de framtida intäkterna om man använder sig av räntesatsen 5%?

31. Newtons lag säger att temperaturökningen hos en kropp är proportionell mot skillnaden mellan omgivningens temperatur och kroppens.

    Ett föremål med temperaturen 0 grader placeras i ett rum med konstant temperatur 20 grader. Efter 10 minuter är föremålets temperatur 10 grader. Vilken temperatur har föremålet efter 20 minuter?

Förslag till svar

1) p=0, 6, $(5\pm\sqrt{5})/2$    2) $p=(2\pm\sqrt{14})/3$    3) Inte möjligt    4) x-2y+z=0
5) $f(x)=1\pm\sqrt{c-x^{2}},$ där C>0    6) $\sqrt{13}(e^{2}-1)/2$    7) y=(C₁+C₂t+t²/2)e^t+e^3t/4
8) y=(e^2t-e^-t)/3    9) $y=\left\{ \begin{array}{rcl} 1-\cos t&\mbox{ när }& t\leq \pi\\ -2\cos t &\mbox{ när }& t\geq \pi \end{array}\right.$    10 a) y'=y²-1
10 b) y=-1+2/(1-Ce^2t), där C är godtycklig, samt y=-1 (konstant)
11 a) $y=e^{-at}\sin t +1$    11 b) a>0: går mot 0, när $t\rightarrow \infty,$ a=0: periodisk, a<0: svänger med exponentiellt växande amplitud.    12) $y=-1+\sqrt{t^{2}+4}$

13)

a)	b)	c)
d)	e)

14) $(1-\ln 2)/2$    15 a) 2^1/3    15 b) 1    16) $\cos \sqrt{t}$    17) $1-(1/3)\ln(1-x^{3})$ när $-1\leq x<1$
18 a) konvegent    18 b) konvergent    19 a) konvegent    19 b) divergent    20) $(1/2)(\cosh t +\cos t)$
21 a) 15/2    21 b) 4    22 a) 2+x⁴/12    22 b) lokalt minimum    23 a) $\pi\ln 2$    23 b) Nej    24) $16\pi$
25) y'=0.05y, y(0)=10⁴, y=10⁴e^0.05t    26) $\pi/30$     27) f(y)=Cy^1/4, där C>0    28 $\bar z=1$
29) $665\cdot 10^{3}g\pi$ joule    30) 3360 miljoner kronor    31) 15 grader