MATEMATIK
Chalmers

 

Tentamen i TMA 305 Envariabelanalys I, del B, 02 12 14, kl 8.45-12.45.

1. Lös följande differentialekvationer när x>0.
    
   a)  
   
   $$\sqrt{x}y'=y(y-1),$$
   
   
   
    
   b)  
   
   xy'+(1-x)y=x².
   
   

2. Bestäm funktionerna x(t) och y(t), så att x(0)=0 och y(0)=1 och
   
   $$\left\{ \begin{array}{rcl} x'&=&2x-y\\ y'&=&x+2y. \end{array}\right.$$
   
   

3. Låt
   
   $$P(x)=\sum_{i=0}^{\infty}\frac{\cos(i\pi/3)}{i!}x^{i}.$$
   
   
   a)  Bestäm konvergensradien för P(x).
    
   b)  Visa att P(x) löser differentialekvationen
   
   y''-y'+y.
   
   
   c)  Uttryck P(x) med hjälp av elementära funktioner (för x i konvergensintervallet).

 

4. a)  Vad menas med den ortogonala projektionen av vektorn $\stackrel{\rightarrow}{\mathbf v}$ längs vektorn $\stackrel{\rightarrow}{\mathbf u}$?
    
   b)  Ange en formel för hur denna kan beräknas med hjälp av $\stackrel{\rightarrow}{\mathbf v}$ och $\stackrel{\rightarrow}{\mathbf u}$.
    
   c)  Förklara varför formeln är korrekt.

 

5. Visa att om $\sum_{i=0}^{\infty}a_{i}x^{i}$ har konvergensradien R>0 så är $\sum_{i=1}^{\infty}ia_{i}x^{i-1}$ konvergent när |x|<R.

 
Under kursens gång har det förekommit löpande examination. Den maximala poängen från denna är 18. Om Du vill komplettera Din poäng från detta moment kan Du lösa uppgifter nedan. Inom parentes vilka uppgifter som är aktuella för Dig. T.ex. anger (< 12) att uppgiften gäller Dig vars poäng från den löpande examinationen är < 12. Bara korrekt valda uppgifter kommer att beaktas!
 
Varje uppgift kan ge tre poäng. Tillsammans med den löpande examinationen kan Du dock högst komma upp i den poäng som anges inom parentes. Det betyder att om Du t.ex. har 11p från tidigare examination och löser uppgift 9 helt korrekt, så kommer Du trots detta bara upp i 12p.
 
Fullständiga lösningar krävs för poäng!
 
6.  (<3) Undersök om (-1,2,1) ligger i planet med normal (1,2,3), som går genom (1,1,1)?
 
7.  (<6) Bestäm Taylorpolynomet av ordning 6 kring x=0 till funktionen

$$\frac{1}{1+x^{2}}.$$

 
8.  (<9) Bestäm avståndet mellan punkten (1,2,3) och linjen genom de två punkterna (1,1,1) och (2,2,3).
 
9.  (<12) När kurvan y=1+x², $0\leq x\leq 2$ roterar kring x-axeln avgränsas en kropp i rummet. Beräkna volymen av denna kropp.
 
10.  (<15) Går det att bestämma p så att triangelytan med hörn i (1,2,1), (2,3,2) och (1,4,p) har area $\sqrt{2}$? Ange dessa värden på p i så fall.
 
11.  (<18) För vilka x konvergerar

$$\sum_{i=0}^{\infty}\frac{x^{2i+1}}{i\cdot 2^{i}}?$$

JAS