MATEMATIK
Chalmers

 

Tentamen i TMA 305 Envariabelanalys I, del B, 03 04 17, kl 14.15-18.15.

 

1.

Lös differentialekvationen

x²y(x)y'(x) = (1 + y(x)²)cos(1/x), x > 0, y(2/$$\pi$$) = 0.

2.

En partikels bana i planet beskrivs av (x(t), y(t)), där funktionerna uppfyller sambandet

$$\left\{\vphantom{ \begin{array}{rcl} x'(t)&=&x(t)-y(t)\\ y'(t)&=&x(t)+3y(t). \end{array}}\right.$$$$\begin{array}{rcl} x'(t)&=&x(t)-y(t)\\ y'(t)&=&x(t)+3y(t). \end{array}$$

När t = 0 befinner sig partikeln i (1, 0). Bestäm x(t) och y(t).

3.

$$\sum_{{i=1}}^{{\infty}} {\frac{{(i!)^{3}x^{2i+1}}}{{(3i)!3^{i+1}}}}$$ (a)

$$\sum_{{i=0}}^{{\infty}} {\frac{{(-1)^{i}}}{{(2i+1)3^{i}}}}$$ (b)

4.

I uppgiften förutsätts en deriverbar parametriserad kurva (x(t), y(t)) vara given.
 

(a)	Vad menas med farten till den parametriserade kurvan när t = t0.
(b)	Hur ser (generellt) en ekvation för tangentlinjen till den parametriserade kurvan ut i punkten (x(t0), y(t0)) = (a, b). Kurvan förutsätts ha fart $\neq$ 0 när t = t0.
(c)	Beräkna båglängden av kurvan (t, ln(t + $\sqrt{{t^{2}-1}}$)), när 2 $\leq$ t $\leq$ 3.

5.

Visa att varje växande uppåt begränsad talföljd är konvergent.

 

Förslag till lösningar kommer att finnas på kursens webbsida :

http://www.math.chalmers.se/Math/Grundutb/CTH/tma305b/0203/

VÄND!

Under kursens gång har det förekommit löpande examination. Den maximala poängen från denna är 18. Om Du vill komplettera Din poäng från detta moment kan Du lösa uppgifter nedan. Inom parentes anges vilka uppgifter som är aktuella för Dig. T.ex. anger (< 12) att uppgiften gäller Dig vars poäng från den löpande examinationen är < 12. Bara korrekt valda uppgifter kommer att beaktas!

Varje uppgift kan ge tre poäng. Tillsammans med den löpande examinationen kan Du dock högst komma upp i den poäng som anges inom parentes. Det betyder att om Du t.ex. har 11p från tidigare examination och löser uppgift 9 helt korrekt, så kommer Du trots detta bara upp i 12p.

Fullständiga lösningar krävs för poäng!

6.	(< 3) Undersök om (1, 2, 3) ligger i planet med normal (1, 1, 1) och som går genom (0, 1, - 2).
7.	(< 6) Bestäm Taylorpolynomet av ordning 4 till cos(2x) kring x = 0.
8.	(< 9) Bestäm avståndet från punkten (1, 1, 1) till planet x + 2y + 3z = 4.
9.	(< 12) När kurvan y = $\sqrt{{1+x^{2}}}$, 0 $\leq$ x $\leq$ 1 roterar kring y-axeln uppstår en kropp. Beräkna volymen av denna.
10.	(< 15) Lös differentialekvation y'' - y = x2, y'(0) = y(0) = 1.
11.	(< 18) För vilka x konvergerar $$\sum_{{k=1}}^{{\infty}}$$$${\frac{{(-1)^{k}x^{k}}}{{\sqrt{k}}}}$$?

JAS