Veckoblad 3

 
Under den tredje läsveckan går vi igenom två metoder för lösning av vissa differentialekvationer av ordning 1. De är dels variabelseparation och dels metoden med integrerande faktor.
 

Linjära differentialekvationer av första ordningen

En differentialekvation av typen

y'+a(t)y=b(t)

kallas linjär av första ordningen. Specialfallet a(t)=0 är enkel att lösa, eftersom

y'=b(t)

har lösningen

$$y=\int b(t)\, dt=B(t)+C$$

där B(t) är en godtycklig primitiv funktion till b(t). Det allmänna fallet angriper man genom att försöka återföra det på specialfallet. Vi startar med ett exempel.

Exempel 1   Lös differentialekvationen

$$y'+\frac{1}{t}y=1\mbox{, för $t>0$. }$$

Genom att multiplicera ekvationen med t ser vi att den är ekvivalent med

ty'+y=t.

Det vi har vunnit med detta är att vänsterledet nu är en derivata. Vi använder formeln för derivatan av en produkt för att se

$$\frac{d}{dt}(ty)=1\cdot y+t\cdot y'=ty'+y.$$

Differentialekvationen kan alltså skrivas

$$\frac{d}{dt}(ty)=t$$

och vi har kommit i samma läge som i specialfallet. Vi får

$$ty=\int t \, dt=\frac{t^{2}}{2}+C$$

och alltså

$$y=\frac{t}{2}+\frac{C}{t},$$

där C är en godtycklig konstant.

I föregående exempel kan man undra hur man skall komma på att det är lämpligt att multiplicera med t. Detta kan systematiseras så här.

Låt A(t) vara en primitiv funktion till a(t). Då gäller

$$\frac{d}{dt}(y\cdot e^{A(t)})=y'\cdot e^{A(t)}+y\cdot e^{A(t)}A'(t)$$

Eftersom A'(t)=a(t) har vi därför

$$\frac{d}{dt}(y\cdot e^{A(t)})=e^{A(t)}(y'+a(t)y).$$

Vi multiplicerar därför ekvationen

y'+a(t)y=b(t)

med e^A(t) och konstaterar att den därigenom övergår i

$$\frac{d}{dt}(y\cdot e^{A(t)})=b(t)e^{A(t)}$$

där vi kan integrera och få

$$y\cdot e^{A(t)}=\int b(t)e^{A(t)}\, dt.$$

Här bestämmer vi de primitiva funktionerna och löser därefter ut y.

Sammanfattning:
 

För att lösa en differentialekvation av formen

y'+a(t)=b(t)

gör man så här:

1. Bestäm en primitiv funktion  A(t)  till  a(t)  och multiplicera differentialekvationen med  e^A(t) . Denna faktor kallas den integrerande faktorn.
2. Differentialekvationen övergår i
   
3. Integrera och lös ut  y .

Exempel 2   Lös differentialekvationen

$$(t+1)y'+2y=(t+1)^{3},\mbox{ för $t>-1.$}$$

Vi skriver först om ekvationen på formen y'+a(t)y=b(t). Division med (t+1) ger

$$y'+\frac{2}{t+1}y=(t+1)^{2}.$$

Eftersom

$$\int \frac{2}{t+1}\, dt=2\ln{(t+1)}+C$$

är en integrerande faktor

$$e^{2\ln{(t+1)}}=(t+1)^{2}$$

Efter multiplikation med den integrerande faktorn får vi

$$\frac{d}{dt}((t+1)^{2}y)=(t+1)^{2+2}$$

och alltså

$$(t+1)^{2}y=\int (t+1)^{4}\, dt$$

dvs

$$(t+1)^{2}y=\frac{(t+1)^{5}}{5}+C$$

som ger

$$y=\frac{(t+1)^{3}}{5}+\frac{C}{(t+1)^{2}}.$$

Exempel 3   Bestäm den funktion f(t) som dels uppfyller

f'(t)+2tf(t)=t

dessutom f(0)=1.

Funktionen satisfierar alltså differentialekvationen

y'+2ty=t.

Eftersom en primitiv funktion till 2t är t² är e^t2 en integrerande faktor. Differentialekvationen kan därför skrivas

$$\frac{d}{dt}(ye^{t^{2}})=te^{t^{2}}.$$

Detta ger

$$ye^{t^{2}}=\int te^{t^{2}}\, dt.$$

I denna integral kan vi göra variabelsubstitutionen u=t², som leder till att du=2tdt, och få

$$\int te^{t^{2}}\, dt=\frac{1}{2}\int e^{u}\, du =\frac{1}{2}e^{u}+C.$$

När vi går tillbaka till t kan vi alltså se att

$$ye^{t^{2}}=\int te^{t^{2}}\, dt=\frac{1}{2}e^{t^{2}}+C.$$

Vi löser ut y genom att dividera med e^t2, vilket ju är ekvivalent med att multiplicera med e^-t2. Detta leder till

$$y=\frac{1}{2}+Ce^{-t^{2}}.$$

För något värde på C är alltså

$$f(t)=\frac{1}{2}+Ce^{-t^{2}}.$$

Eftersom f(t) dessutom enligt förutsättningarna uppfyller f(0) måste det gälla att

$$\frac{1}{2}+Ce^{-0^{2}}=1$$

dvs

$$\frac{1}{2}+C=1.$$

Eftersom detta ger

$$C=\frac{1}{2}$$

så får vi

$$f(t)=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}e^{-t^{2}}= \frac{1}{2}(1+e^{-t^{2}}).$$

Följande uppgifter kommer att gås igenom under lektionerna tisdagen den 19 november.

1) Beräkna  y(2)  när  y  löser differentialekvationen
 

(x² + 4)y' = y + 4/ y

och  y(0) = 1.
 
2) Bestäm, om möjligt, en lösning till
 

(1 - x²)y' - 2y = (1 + x)²

som går genom  (2, 3) .
 
3) Ena änden på ett 1 meter långt (mycket elastiskt) gummiband fästs i en vägg. Man drar i den lösa änden med konstant fart  k . När tiden är  0  är bandet sträckt men inte uttänjt. Låt  x(t)  vara avståndet från en partikel på bandet till väggen vid tiden  t .
 

a) Ange en differentialekvation som  x(t)  löser.
 
b) Hur långt från väggen befinner sig partikeln, som ursprungligen hade avståndet  x₀  från väggen, vid tiden  t ?