Veckoblad 6

 

Under läsvecka sex har vi avslutat genomgången av potensserier. Resten av veckan ägnas åt Taylorpolynom och Taylorserier.

I det utdelade häftet finns klassiska så kallade serieutvecklingar av elmentära funktioner. Nämare bestämt har vi sett att e^x,  cos x,  sin x,  ln(1+x),  arctan(x), och (1+x)^p kan skrivas som potensserier åtminstone för vissa x. För de tre första funktionerna fungerar omskrivningen för alla x, medan den bara fungerar för |x|<1 för de tre sista (för allmänt p).

Vi har, i flera fall, kommit fram till dessa omskrivningar genom att utnyttja att funktionerna löser vissa differentialekvationer. För  ln(1+x)  och  arctan(x)  har vi istället integrerat serieutvecklingar av 1/(1+x) respektive 1/(1+x²).

I boken används en annan metod för att göra detta. Man inför Taylorserien till funktionen. Problemet är sedan att relatera Taylorserien till funktionen och detta behandlas summariskt och delvis ofullständigt i boken. Ett bra (bättre) sätt att relatera Taylorserien till funktionen är att se att båda löser en och samma differentialekvation med lämpliga begynnelsevärden.

På fredagens föreläsning presenteras ett exempel på en funktion vars Taylorserie är identiskt noll och alltså har oändlig konvergensradie. Serien blir lika med funktionen bara i en enda punkt!

Vi går också igenom några tillämpningar på Taylorpolynom, bland annat hur de kan användas för att beräkna gränsvärden. Antag att f(x) har kontinuerlig f ⁽ⁿ⁺¹⁾(x) i en omgivning till a och p_n(x) är Tylorpolynomet runt x=a av ordning n. För x i denna omgivning gäller då att

f(x)=p_n(x)+B(x)(x-a)ⁿ⁺¹,

där B(x) är begränsad i närheten av a. Jämför häftet sidan 9.

På övningarna tisdagen den 10 december räknas (endast) följande uppgift (från tentan på del A av kursen).

Uppgift

 
Bestäm konstanterna a och b så att funktionen

$$f(x)=\left\{ \begin{array}{lcr} (\ln(ax+1)-2x)/x^{2} & \mbox{ när }& x\neq 0\\ b & \mbox{ när } & x=0 \end{array}\right.$$

blir deriverbar.

Nästa vecka ägnas för övrigt helt åt de utdelade repetitionsuppgifterna.