Envariabelanalys I, del b, H03
 

Anteckning vecka 2

Måndagen den 3 november tillämpade vi kryssprodukter och skalärprodukter på problemet att bestämma olika avstånd. Detta står inte i kursboken.

Avstånd mellan punkt och plan

Antag att ett plan har normal $\stackrel{\rightarrow}{\mathbf n}$ och går genom punkten P. Vi vill bestämma (det kortaste) avståndet d mellan punkten Q=(x,y,z) och planet.
 

Det ges av längden av den ortogonala projektionen av vektorn $\stackrel{\rightarrow}{PQ}$ längs normalen $\stackrel{\rightarrow}{\mathbf n}$.

Med symboler blir detta

$$d=\frac{\vert\stackrel{\rightarrow}{\mathbf n}\cdot\stackrel... ...}\vert}{\vert\vert\stackrel{\rightarrow}{\mathbf n}\vert\vert}$$

Exempel Bestäm avståndet mellan punkten (1,2,3) och planet x-2y-2z+4=0.

Här ges normalen av (t.ex.) $\stackrel{\rightarrow}{\mathbf n}=(1,-2,-2),$ med längd 3, och (t.ex.) P=(0,2,0) är en punkt i planet. Vi får då $\stackrel{\rightarrow}{PQ}=(1,0,3),$ om vi sätter Q=(1,2,3).

Detta ge oss att avståndet är $\vert(1,0,3)\cdot (1,-2,-2)\vert/3=5/3$.

Avstånd mellan punkt och linje

Antag att en linje i rummet har riktningsvektor $\stackrel{\rightarrow}{\mathbf v}$ och går genom P. Vi vill bestämma (det kortaste) avståndet d mellan linjen och en punkt Q=(x,y,z).
 

Parallellogrammen som spänns av vektorerna $\stackrel{\rightarrow}{\mathbf v}$ och $\stackrel{\rightarrow}{PQ}$ har area $\vert\stackrel{\rightarrow}{\mathbf v}\times \stackrel{\rightarrow}{PQ}\vert$ men också $d\vert\stackrel{\rightarrow}{\mathbf v}\vert$. Detta ger

$$d=\frac{\vert\stackrel{\rightarrow}{\mathbf v}\times \stackr... ...tarrow}{PQ}\vert}{\vert\stackrel{\rightarrow}{\mathbf v}\vert}$$

Exempel Bestäm avståndet mellan punkten (1,2,3) och linjen som går genom de båda punkterna (1,1,0) och (2,-1,2).

Linjens båda punkter ger oss riktningsvektorn $\stackrel{\rightarrow}{\mathbf v}=(1,-2,2)$ av längd 3. Om vi sätter P=(1,1,0) och Q=(1,2,3) har vi $\stackrel{\rightarrow}{PQ}=(0,1,3)$ och

$$\stackrel{\rightarrow}{\mathbf v}\times\stackrel{\rightarrow... ...y}{rrr} 1 & -2 & 2\\ 0 & 1 & 3 \end{array}\right\}=(-8,-3,1),$$

som har längd $\sqrt{74}$, så avståndet blir $\sqrt{74}/3$.

Avstånd mellan två linjer

Antag att vi har två linjer i rummet med riktningsvektorer $\stackrel{\rightarrow}{\mathbf u}$ respektive $\stackrel{\rightarrow}{\mathbf v}$ och att de går genom P respektive Q.
 

Det kortaste avståndet d mellan de båda linjerna ges då (t.ex.) av avståndet mellan punkten Q och planet genom P med normal $\stackrel{\rightarrow}{\mathbf u}\times\stackrel{\rightarrow}{\mathbf v}$. Vi kan alltså formlera om problemet till att vara avståndet mellan en punkt och ett plan. Vi har

$$d=\frac{\vert\stackrel{\rightarrow}{PQ}\cdot(\stackrel{\righ... ...\mathbf u}\times\stackrel{\rightarrow}{\mathbf v}\vert\vert}.$$

Täljaren kan här beräknas som en 3 x 3-determinant, men det är inte mycket mening med det eftersom kryssprodukten behövs i nämnaren.

Exempel Bestäm avståndet mellan linjen med parameterframställningen (x,y,z)=(1,2,0)+t(1,2,-2) samt linjen genom de två punkterna (3,-2,1) och (1,0,2).

Den första linjen har riktningsvektorn $\stackrel{\rightarrow}{\mathbf u}=(1,2,-2)$ och går genom P=(1,2,0), medan den andra har riktningsvektorn $\stackrel{\rightarrow}{\mathbf v}=(1-3,0-(-2),2-1)=(-2,2,1)$ och går genom Q=(1,0,2). Vi har $\stackrel{\rightarrow}{PQ}=(0,-2,2)$ och

$$\stackrel{\rightarrow}{\mathbf u}\times\stackrel{\rightarrow... ...rrr} 1 & 2 & -2\\ -2 & 2 & 1 \end{array}\right\}=(6,-3,6),$$

så $\stackrel{\rightarrow}{PQ}\cdot(\stackrel{\rightarrow}{\mathbf u}\times\stackrel{\rightarrow}{\mathbf v})=0\cdot 6+ (-2)(-3)+2\cdot3=12.$ Eftersom $\stackrel{\rightarrow}{\mathbf u}\times\stackrel{\rightarrow}{\mathbf v}=\sqrt{36+9+36}=9,$ har vi att avståndet är 12/9=4/3.