Engelska: Linear algebra and multivariable calculus
Svenska: Linjär algebra och flervariabelanalys
Poäng: 8,0
ECTS: 12,0
Tid: Period 3,  Period 4

Ägare: TIEKA - INDUSTRIELL EKONOMI
Ansvarig: 0702 - MATEMATIK MV CTH/GU

Kursmoment
352 Tentamen 4,0p
353 Tentamen 4,0p

Syfte och mål

Det allmänna syftet med de grundläggande matematikkurserna framgår i kursplanen för Envariabelanalys. Tillsammans med Envariabelanalys skall denna kurs ge de baskunskaper i matematik som är gemensamma för många olika utbildningar, såväl nationellt som internationellt.
Linjär algebra är ett område som vuxit alltmer och utgör grund för exempelvis områden som statistik och optimering, vilka en I-ingenjör naturligt kan komma i kontakt med.
Flervariabelanalys är nödvändig bakgrundskunskap i de flesta tillämpningar med matematisk anknytning, inom I-programmet exempelvis i fysik och teknik.
KURSENS MÅL
I all matematik är terminologin ett viktigt moment för att man skall kunna kommunicera. I extra hög grad gäller detta linjär algebra. Ett viktigt mål är alltså att man verkligen skall förstå de olika definitioner av begrepp som förekommer. Eftersom i linjära algebran många resultat ligger närmare definitionerna än vad som är fallet inom en- och flervariabelanalys, är det också den del av matematikkurserna på I-programmet, där det är enklast att träna bevisföring. Efter kursen skall man förutom de olika begreppen bland annat kunna analysera linjära ekvationssystem med avseende på existens och entydighet av lösningar, analysera uppförandet av diskreta matematiska modeller bildade genom upprepad matrismultiplikation, kunna tillämpa linjär algebra på kontinuerliga modeller i form av system av differentialekvationer. För tillämpningar dels inom fysikkurser och vissa teknikbaskurser skall man även kunna generalisera begreppet vektor till att omfatta funktioner. I flervariabelanalyskursen skall man, förutom att behärska den centrala terminologin, kunna behandla problem som gäller optimering av funktioner av flera variabler, kunna tillämpa integraler av funktioner av flera variabler. Sådana tillämpningar förekommer naturligt i tekniska och statistiska sammanhang.

Förkunskaper

Kursen förutsätter kunskaper som svarar mot I-programmets kurs Envariabelanalys.

Innehåll

Kursen är uppdelad i två delar med följande innehåll i de båda delarna.
Del A (4p)
I teorin för lösningar till linjära ekvationssystem spelar matriser en avgörande roll. Determinanten av en sådan bestämmer (teoretiskt) om motsvarande ekvationssystem har en entydig lösning.
Rummet av lösningar till ett (homogent) ekvationssystem studeras genom att axiom för vektorrum införs och i kursen diskuteras dimension av och baser för sådana samt effekten av basbyten.
Egenvärden och egenvektorer spelar en central roll för studiet av linjära avbildningar och matriser. I kursen används de också för att analysera diskreta dynamiska system. Även system av differentialekvationer studeras med hjälp av linjär algebra.
Del B (4p)
Ortogonalitet används för att undersöka bästa lösningen i minstakvadratmetodens mening till överbestämda linjära ekvationssystem. Med hjälp av ortogonalitet studeras också egenvärden och egenvektorer vidare för symmetriska matriser. Detta används sedan för att undersöka kvadratiska former. Detta är användbart senare för att undersöka om en funktion av flera variabler har ett lokalt extremvärde i en punkt.
Ortogonaliteten studeras också vidare i allmännare rum med skalärprodukt och exemplifieras speciellt på fourierserier. Sådana behandlas även i fysikkurser.
Vi övergår sedan till att studera mera systematiskt funktioner av flera variabler. Först behandlas olika grafiska representationer som funktionsytor och nivåkurvor/ytor. Vidare generaliseras begreppen gränsvärde, kontinuitet och derivata till funktioner av flera variabler. Detta leder till studiet av begrepp som gradient och riktningsderivata. Den både för teorin och tillämpningarna viktiga kedjeregeln generaliseras också till funktioner av flera variabler.
För att kunna undersöka hur en funktion uppför sig i närheten av en punkt studerar vi taylorutveckling. Med hjälp av denna och det tidigare studiet av kvadratiska former genomför vi sedan lokala extremvärdesundersökningar. Undersökningar av största och minsta värden är viktiga i olika ekonomiska tillämpningar. I kursen behandlas sådana med och utan bivillkor. För den senare situationen används Lagranges multiplikatormetod.
Mutipelintegraler definieras och metoder för beräkning studeras, inklusive variabelsubstitution. Olika tillämpningar, främst fysikaliska, betraktas.

Examination

Varje delkurs avslutas med en skriftlig tentamen. Under kursens gång läggs moment in som kan ge bonus vid tentorna. Dessa moment kan utgöras av duggor, inlämningsuppgifter och grupparbeten. Omfattningen av dessa framgår av särskilt kurs-PM som delas ut i samband med att undervisningen på respektive moment startar. De bonuspoäng som erhålls gäller vid de tentamenstillfällen som anordnas fram till kursen ges nästa gång.

Genererad 2002-03-12 13:39 ©2001-2002 Utbildningsavdelningen - Modulansvarig: Patrik Hellman KA Administration