Tentamen kommer att bestå av fem uppgifter som vardera kan ge sex poäng, utom en som kan ge åtta poäng. Tre av uppgifterna är räknemässiga problem, en kommer att förhöra på en av satserna (eventuellt med bevis) i urvalet längst ned, medan den återstående kommer att handla om beskrivning av metoder eller formulering av definitioner och satser, möjligen med någon kortare beräkning som tillämpning. Se urval nedan (långa listan).
Vid tentamen ges möjlighet att höja poängen från den löpande examinationen genom att lösa en eller flera av tre extra uppgifter (för GU-studenter görs en annan tentavariant med en sådan extrauppgift). Varje sådan kan ge upp till sex poäng och fullständiga lösningar krävs. Vilka uppgifter man ska lösa för att höja sitt resultat från den löpande examinationen bestäms av vad denna tidigare resulterat i.
Följande begrepp och metoder ur kursen är särskilt viktiga för tillämpningar och vidare studier i matematik (L=Lay, C=Calculus), och ska kunna redogöras för:
Ortogonal diagonalisering av symmetrisk matris och kvadratisk form. (L sid 450-451)Klassifikation av kvadratiska former med antingen kvadratkomplettering eller egenvärden. (L sid 460-461)
Sambandet mellan största/minsta värdet av en kvadratisk form när |x|=1 och största/minsta egenvärdet för den associerade symmetriska matrisen. (L sid 465-466)
Gränsvärdesbegreppet. (C sid 597)
Kontinuitetsbegreppet. (C sid 597)
Partiella derivator till funktioner av flera variabler. (C sid 641)
Differentierbarhet av funktioner av flera variabler. (C sid 689)
Tangentplan till en graf och till en nivåyta. (C sid 652,670)
Gradienten och dess geometriska innebörd: (C sid 662,667)
- 1.
- som vektor som anger den riktning i vilken funktionen växer snabbast
- 2.
- som vektor vars storlek anger tillväxten i denna riktning
- 3.
- som vektor som är vinkelrät mot nivåkurvor/ytor till funktionen.
Taylorpolynom av grad 1 och 2 till en funktion av flera variabler samt feluppskattning. (C sid 683-686)
Lokala extrempunkter. (C sid 702)
Kritiska punkter. (C sid 702)
Sadelpunkter. (C sid 704)
Extrempunkter och villkor som garanterar deras existens, t ex optimering av kontinuerlig funktion på kompakt (sluten och begränsad) mängd. (C sid 707-708 eller klassifikation via kvadratisk form)
Optimering med bivillkor: kriteriet med linjärt beroende gradienter (genomfört med valfri metod: determinantvillkor, Lagranges multiplikatormetod etc). (C sid 720)
Dubbelintegral. (C sid 737)
Trippelintegral. (C sid 752)
Variabelbyte i multipelintegraler
- 1.
- allmänt (C sid 775-776)
- 2.
- polära koordinater (C sid 757)
- 3.
- cylindriska koordinater (C sid 760,762)
- 4.
- sfäriska koordinater (C sid 763-764)
Jakobian. (C sid 775)
Parametriserad kurva. (C sid 784)
Hastighet, fart och längd av sådan kurva. (C sid 792-793,796)
Vektorfält. (C sid 800)
Flödeslinjer (integralkurvor) till vektorfält. (C sid 805)
Kurvintegral (linjeintegral). (C sid 826-827, 835, 837)
Konservativt vektorfält. (C sid 841-842)
Potentialfunktion till vektorfält. (C sid 843)
Greens formel. (C sid 852)
Följande satser ska både kunna formuleras och bevisas vid tentamen:
Theorem 1 (om symmetriska matrisers egenvektorer, L sid 450), ex 14.8.1 (dvs att en differentierbar funktion har partiella derivator, C sid 690), kedjeregeln (n variabler) eller kedjeregeln (i 2 variabler) (välj själv!), metod för optimering med bivillkor, dvs Lagranges multiplikatormetod eller motsvarande (ska kunna motiveras med hjälp av nivåkurvor, snarare än bevisas i egentlig mening, C sid 720-721), sats om potentialfunktion till konservativa fält (Theorem 18.2, C sid 842, beviset sid 844).