Lösningar till TMA 790 Matematisk analys, del A, 02 08 19.

1. Vi delar upp i tre fall som bestäms av de ingående absolutbeloppen. Fall 1: $x\leq -2$. Ekvationen blir då 3-x=2-3(x+2) eller 2x=-7, eller x=-7/2 som är $\leq -2$ och därför en lösning till den ursprungliga ekvationen. Fall 2: $-2\leq x\leq 3$. Ekvationen blir då 3-x=2+3(x+2), eller -5=4x, eller x=-5/4 som är en lösning till den ursprungliga ekvationen eftersom $-2\leq -5/4\leq 3$. Fall 3: $3\leq x$. Ekvationen blir då x-3=2+3(x+2), eller -11=4x, eller x=-11/4 som inte är $\geq 3$ och därför ingen lösning till den ursprungliga ekvationen. Svar: x=-5/4 och -7/2.
2. Vi har
   
   $$\begin{eqnarray*} \frac{x-3}{x^{2}+x-2}+\frac{a}{x^{2}+3x+2}&=&\frac{x-3}{(x-1... ...+1)(x+2)}=\\ &=&\frac{(x-3)(x+1)+a(x-1)}{(x-1)(x+1)(x+2)}\\ \end{eqnarray*}$$
   
   Eftersom nämnaren går mot 0 när $x\rightarrow -2,$ måste även täljaren göra det för att gränsvärdet ska existera. Täljaren ska alltså vara 0 när x=-2. Detta ger 0=(-5)(-1)+a(-3), eller a=5/3. För täljaren gäller då
   
   (x-3)(x+1)+5(x-1)/3=x²-x/3-14/3=(x+2)(x-7/3).
   
   
   Detta ger
   
   $$\begin{eqnarray*} \frac{(x-3)(x+1)+a(x-1)}{(x-1)(x+1)(x+2)}&=&\frac{(x+2)(x-7/... ...c{x-7/3}{(x-1)(x+1)}\rightarrow\frac{-2-7/3}{(-3)(-1)}=-13/9\\ \end{eqnarray*}$$
   
   när $x\rightarrow -2$. Svar: a=5/3. Gränsvärdet blir då -13/9.
3. Vi visar formeln med induktion. När n=0 är vänstra ledet 2 medan det högra är 9/2-5/2=2. Så formeln stämmer när n=0. Antag nu att formeln stämmer när n=p. Vi kontrollerar att formeln då även stämmer när n=p+1. Vänstra ledet är då
   
   $$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{p+1}\frac{k^{2}+2}{3^{k}}&=&\sum_{k=0}^{p}\frac{k... ... 3^{p+1}}=\frac{9}{2}-\frac{5+3(p+1)+(p+1)^{2}}{2\cdot 3^{p+1}} \end{eqnarray*}$$
   
   Det sista uttrycket är högra ledet när n=p+1. Enligt induktionsprincipen gäller nu formeln för alla heltal $n\geq 0$.
4. 1. Vi har
      
      $$\begin{eqnarray*} \int\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+1}\,dx&=&\int\Big(\frac{\sqrt{x... ...}-\frac{1}{\sqrt{x}+1}\Big)\,dx=x-\int\frac{1}{\sqrt{x}+1}\,dx \end{eqnarray*}$$
      
      Vi beräknar den återstående integralen:
      
      $$\begin{eqnarray*} \int\frac{1}{\sqrt{x}+1}\,dx&=&\left\{ \begin{array}{l} ... ...-\frac{2}{t+1}\Big)\,dt=2t-2\ln(t+1)=2\sqrt{x}-2\ln(\sqrt{x}+1) \end{eqnarray*}$$
      
      
   2. Vi har
      
      $$\begin{eqnarray*} \int\frac{\tan(x)}{\cos(x)+2}\,dx&=&\int\frac{\sin(x)}{\cos(... ...n(t))=\\ &=&(1/2)\ln((t+2)/t)=(1/2)\ln((\cos(x)+2)/\cos(x)) \end{eqnarray*}$$
      
      
   Svar: a) $x-2\sqrt{x}+2\ln(\sqrt{x}+1)$ och b) $(1/2)\ln((\cos(x)+2)/\cos(x))$.
5. För derivata när x=0 ska vi ha att gränsvärdet av uttrycket (f(x)-f(0))/x när $x\rightarrow 0$ ska existera. Detta uttryck är
   
   $$\begin{eqnarray*} \frac{\sqrt{1+2x}-1-ax}{x^{2}}&=&\frac{1+2x-(1+ax)^{2}}{x^{2... ...+1+ax)}=\\ &=&\frac{(2-2a)x-x^{2}}{x^{2}(\sqrt{1+2x}+1+ax)} \end{eqnarray*}$$
   
   För att gränsvärdet ska existera måste vi kunna förkorta med x². Detta ger oss a=1 och gränsvärdet blir
   
   $$\begin{eqnarray*} \frac{-x^{2}}{x^{2}(\sqrt{1+2x}-1-ax)}=\frac{-1}{(\sqrt{1+2x}+1+x)}\rightarrow -\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$$
   
   när $x\rightarrow 0$. För övriga värden på x kan derivatan beräknas med formler. Den blir
   
   $$\begin{eqnarray*} \frac{2x/(2\sqrt{1+2x})-\sqrt{1+2x}+1}{x^{2}}&=&\frac{x-(1+2... ...}\sqrt{1+2x}}=\\ &=&\frac{\sqrt{1+2x}-1-x}{x^{2}\sqrt{1+2x}} \end{eqnarray*}$$
   
   Vi har alltså
   
   $$f'(x)=\left\{ \begin{array}{rcl} (\sqrt{1+2x}-1-x)(x^{2... ... }&x\neq 0\\ -1/2&\mbox{ när }&x=0\\ \end{array}\right.$$
   
   
   För att avgöra kontinuitet räcker det att undersöka om $f'(x)\rightarrow f'(0)=-1/2,$ när $x\rightarrow 0$. Vi har
   
   $$\begin{eqnarray*} f'(x)&=&\frac{\sqrt{1+2x}-1-x}{x^{2}\sqrt{1+2x}}=\frac{1+2x-... ...sqrt{1+2x}+1+x)}\rightarrow -\frac{1}{1\cdot(1+1)}=-\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$$
   
   så derivatan är kontinuerlig när x>-1/2.
6. Från en figur (eller genom implicit derivering) ser vi att tangentlinjen till en punkt (x₀,y₀) på den första cirkeln har riktningskoefficient -x₀/y₀ medan tangentlinjen till en punkt (x₁,y₁) på den andra har riktningskoefficient -(x₁-2)/y₁. Tangentlinjens ekvation genom de två punkterna är därför y=-(x₀/y₀)(x-x₀)+y₀ respektive y=-((x₁-2)/y₀)(x-x₁)+y₁. Vi söker de två punkterna så att dessa ekvationer bestämmer samma linje. Vi ska då ha x₀/y₀=(x₁-2)/y₁ och x₀²/y₀+y₀=(x₁-2)x₁/y₁+y₁. För att bestämma de två punkterna ska vi alltså lösa ekvationssystemet
   
   $$\left\{ \begin{array}{rcl} x_{0}^{2}+y_{0}^{2}&=&1\\ ... ...y_{0}+y_{0}&=&(x_{1}-2)x_{1}/y_{1}+y_{1} \end{array}\right.$$
   
   
   Vänstra ledet i den sista ekvationen kan skrivas (x₀²+y₀²)/y₀=1/y₀ medan det högra kan skrivas
   
   ((x₁-2)x₁+y₁²)/y₁=((x₁-2)²+y₁²+2x₁-4)/y₁=2x₁/y₁
   
   
   Detta ger oss y₀=y₁/(2x₁), som i tredje ekvationen ger x₀=(x₁-2)/(2x₁), som insatt i den första ger (x₁-2)²+y₁²=4x₁². Tillsammans med den andra ger detta $x_{1}=\pm 1,$ där -1 är uteslutet. Vi har alltså x₁=1, som i cirkelns ekvation ger $y_{1}=\pm\sqrt{3}$ där $-\sqrt{3}$ ger riktningskoefficient <0 och därför är uteslutet. Tangentlinjens ekvation blir därför:
   
   $$y=(1/\sqrt{3})(x-1)+\sqrt{3}.$$
   
   
   Svar: $y=(1/\sqrt{3})(x-1)+\sqrt{3}.$