grupp: 16
namn1: Erik Mellegard
namn2: Fredrik Aronsson
************************************************************
Grupp 16
Erik Mellegård, 781124-1939
Fredrik Aronsson, 780402-7832

Del 1
-----

Uppgift 1:
 
a) Med startpunkt 10,10 blev det 
BL: f(-2.2491,-3.06255)=-11.1562, 9 iterationer 
Newton: samma punkt, 1 iteration

Med startpunkt -5,-5 blev det 9 iterationer för BL och 1 för Newton.


b) Det är ett globalt minimum, ty funktionen är konvex.

c) Eftersom funktionen är kvadratisk konvergerar newton i ett
steg. Newton bygger på taylorutveckling till grad 2 och löses exakt,
detta blir en exakt lösning i vårt fall i.o.m. att taylorutveckligen
blir exakt.


Uppgift 2:

a) BL konvergerar ej på 200 iterationer 
Newtons modiferade 13 iter f(1,1) = 1.6e-9 
Newtons marquardt 13 iter f(1,1) = 1.6e-9 
Newton (steg=1) 3 iter f(1,1) = 2.97e-25

b) Nej, det syns bl.a. på grafen. Om den är ett globalt optimun kan vi
inte avgöra, eftersom den ej är konvex. (Vi tror däremot att den är
det eftersom vi inte kan hitta några bättre.)

c) BL fastnar i botten på grafen....  Alla newtonvarianter fungerar
bra, men snabbast konvergerar newton med steglängd 1.

Uppgift 3:

a) BL hamnar i f(3,1)=-58 efter 4 iterationer Nexton med steg 1 kan
inte beräknas... hessianen är ej inverterbar i punkten (0,0). I LM
modiferas däremot hessianen så att den blir positivt definit.  LM
konvergerar efter 3 iterationer.

b) Vi hittade 4 stationära punkter, 2 min och 2 max punkter.


Del 2
-----

Uppgift 1:
a) f(0.6250,1.2500) = 1.5625

KKT:
1) Insättning i bivillkor ger att det är en primalt tillåten lösning

2) Villkor 1 är det enda inaktiva, l1 = 0

3) l2 = 0.1250 vid lösning av ekvationssystemet, (dualt tillåten)

-1+4*x1 -x2-l2*2 = 0
-2+2*x2-x1+l2    = 0

4) l2,l1 >= 0

Eftersom egenvärdena till hessianen är 3 och 1 så är hessianen
positivt definit=> f är konvex => vår lösning globalt maximum.

Uppgift 2:

Startpunkt (0,0) hittar ingen giltig lösning... (ogiltig startpunkt)
Startpunkt (1,1) f(3.4000,1.2000) = 3.4000, AC 1,2
Startpunkt (-1,-1) f(-3.0000,-2.0000) = -3.0000, AC 1,2
Startpunkt (3.7,0) f(3.6056,0.0000) = 3.6056, AC 2
Startpunkt (-2,-2) f(-3.0000,-2.0000) = -3.0000, AC 1,2

Nej, vi har inte ett konvext problem, ty hessianen = 0 och kan därmed
ej garantera ett globalt optimum.


Del 3
-----

1)
För ex2 gav EPA ungefär f(0.5,3.2) = 0.32
För ex2 gav IPA ungefär f(3.2,0.75) = 0.32
För ex3 gav EPA ungefär f(3.7,-3.5) = -3.5
För ex3 gav IPA ungefär f(3.7,-3.5) = -3.5


2)
För ex2 konvergerar EPA mot globalt minimum, vilket vi kan se i grafen.
För ex2 konvergerar IPA mot lokalt minimum, vilket vi kan se i grafen.
För ex3 konvergerar EPA mot globalt minimum, vilket vi kan se i grafen.
För ex3 konvergerar IPA mot globalt minimum, vilket vi kan se i grafen.

3)
I ex2 finns 7 kkt punkter, 6 minmum varav 1 globalt och 1 globalt maximum.
I ex3 finns 4 kkt punkter, 2 globala minimum, ett globalt maximum och
en sadelpunkt.