grupp: 3
namn1: Christoffer Cromvik
namn2: Sir Gustav Andhill
************************************************************
Lab 2, Tillämpad optimering
Gustav Andhill och Christoffer Cromvik, grupp 3
************************************************
DEL 1

1:
startpunkt [10 10]
BL -11.1562 (-2.2491, -3.06255) 9 iter
Newton -11.1562 (-2.25,-3.0625)

startpunkt [-5 -5]
BL -11.1562 (-2.25225,-3.06234) 9 iter
Newton -11.1562 (-2.25,-3.0625)

startpunkt [0 0]
BL -11.1562 (-2.2445,-3.06253) 7 iter
Newton -11.1562 (-2.25,-3.0625)

b)
Enligt bild globalt optimum. Olika
startpunkter ger samma losning.

c)
En kvadratisk taylorutveckling (vilket Newtons metod
använder sig av) ger funktionen
sjalv. Alltså krävs endast 1 iteration!

2:
a)
BL 0.0049524 (0.929678,0.864033) 201 iter
Newton(1)  2.9716e-25 (1,1) 5 iter
Newton(mod) 1.6535e-09 (1.00002,1.00003) 13 iter
Newton(Mar) 1.6535e-09 (1.00002,1.00003)  13 iter

b) Ej konvex. Ej globalt min.

c) Konvergerar alltid mot (1,1).

3:
a)
BL -58 (2.99978,0.99993) 4 iter
Newton(1) fungerar ej, dvs ej beräkningsbar. Hessianen är singulär!

f(x(k))=0, vilket ger x(k+1)=x(k). 
Newton(Mar) -58 (3,0.999999) 3 iter

Vi finner 
(3,-1),(-3,1) sadelpunkter
(-3,-1) lokalt max
(-3,1) lokalt min
 

DEL 2

1a)

x=(0.6250, 1.2500)
feval=-1.5625
4 iterationer
b)

KKT-villkor:
(i) 	grad(L(x,lambda)) = 0
(ii)	lambda_i >= 0
(iii) 	lambda_i*g_i = 0
(iv)	g_i >= 0

L=-x(1)+2x(1)^2 - 2x(2) - x(1)*x(2) - lambda1(-x(1)^2 + x(2)) -
lambda2(2x(1) - x(2))
gradL = [-1 + 4x(1) - x(2) + 2*lambda1*x(1)-2*lambda2;
-2 + 2x(2) - x(1) - lambda1 + lambda2] = [0;0]

med X=(0.5714    1.2857)

KKT villkoren uppfyllda! 
Vi kan garantera min ty Hessianen pos definit! 
2a)

Anvander fmincon.

start [0 0]
X=[0 0]
f=0

start [1 1]
X=[3.4 1.2]
f= 3.4

start [-1 -1]
X=[-3 -2]
f=-3

start [3.7 0]
X=[3.6056 0]
f=3.6056

start [-4 -2]
X=[-3 -2]
f=-3

Basta punkt  x=[-3 -2], f=-3
Vi kan inte garantera att vi har globalt minimun. KKT vilkoren uppfyllda
men hessianen  är bara pos. semi def.(0) Vi har alltså inte tillräckliga
vilkor för att garantera minimum!


DEL 3

1:

Problem 2:

EPA (3.2, 0.75)
IPA (3.2, 0.75)

problem 3:

EPA (3.75, -3.75)
IPA (3.75, -3.75)

2:

Problem 2: Konvergensen sker mot det minsta värdet på 
det tillåtna området.

Problem 3: Konvergensen sker mot det minsta värdet på 
det tillåtna området. (Det finns två sådana)

3:

Problem 2: (3.2, 0.75), (0.75, 0.75), (0.4, 3.1)

Problem 3: (3.75, -3.75), (-3.75, 3.75)