Matematik

Chalmers tekniska högskola 
Göteborgs universitet

Reell Matematisk Analys F, del A, HT 2004

Snabbmeny
| Lärare | Kurslitteratur| Examination | Tentamina | Schema |
| Föreläsningar | Övningar| MATLAB | Gamla Tentor | Teorifrågor | 

Aktuellt
Kompletterande material om linjära differentialekvationer: pdf-fil (90 kb)
Kompletterande material om iteration och Newton-Raphsons metod: pdf-fil (106 kb)
Extra övningsuppgifter för MATLAB: pdf-fil (51 kb)
Aktuella m-filer:
  taylor.m. Välj funktion och gradtal på Maclaurinpolynomet.
  kurvor.m. Se några kurvor uppritas.
  grafritning.m. En script-fil som berättar hur man konstruerar en funktionsyta.
  ytor.m. Visar olika andragradsytor.
  de_2.m. Löser en andra ordningens differentialekvation.
  lorenz.m. Löser Lorenz kända system av differentialekvationer med ett kaotiskt beteende.
  weierstrass.m. Weierstrass' exempel på en kontinuerlig, ingenstans deriverbar funktion.
Inledning
"Reell matematisk analys F, del A" skall ge förtrogenhet med grundläggande teorier inom matematisk analys i en och delvis flera variabler, samt belysa deras tillämpningar inom fysik och teknik.
Kursen kommer i kontakt med flera områden inom analysen. Speciellt ingår grunderna om differentialekvationer. De har studerats under flera hundra år och har stor betydelse inom många vetenskapsområden; t.ex. så är naturlagarna i allmänhet differentialekvationer. För en övergripande beskrivning av andra delar av kursinnehållet se innehåll nedan.
I kursen ingår också datorlaborationer/övningar med MATLAB, vilka har som mål att ge viss förtrogenhet med beräkning, visualisering och modellering. En kortfattad och bra introduktion till Matlab är Handledning till MATLAB (18 sidor 170 kb) (författad av Jörgen Löfström).

Examinator och Föreläsare
Peter Kumlin, Matematiskt Centrum, rum 1334, telefon 772 35 32.

Övningsledare
grupp a och b: Peter Kumlin telefon: 7723532 e-post: kumlin
grupp c och d: Kjell Holmåker telefon: 7723567 e-post: kjellh

Kurslitteratur

Här kan ni jämföra priser på kurslitteraturen: http://www.bokfynd.nu/

Examination
Tentamen är uppdelad i två delar, varav den första delen främst examinerar modellering med Matlab. Den andra delen omfattar 7 uppgifter, av vilka 5 är av problemkaraktär och 2 är s.k. teorifrågor då det gäller att kunna redogöra för vissa kursmoment (definitioner och satser samt bevis av satser). Skrivningstiden är 2 timmar för den första delen ( läsvecka 6/7) och 4 timmar för den andra (ordinarie tentamenstillfälle).
Maximipoängen är 60, varav 8 poäng på den första delen respektive 52 poäng på den andra.
Studenter i högre årskurs kan fritt välja att genomföra tentamen enligt denna modell med två delar eller att genomföra en "vanlig" tenta med 6+2 uppgifter. Om första delen inleds så har också tentamen påbörjats och det är inte möjligt att byta modell vid ordinarie tentamenstillfälle!
Vid omtentamen består tentamen av endast en del, dvs. 6 problem plus 2 teoriuppgifter.
Minimikravet för godkänt är 24 poäng (betyg 3). För betyget 4 krävs minst 36 poäng och för betyget 5 minst 48.
Om flera tentamina gjorts räknas det bästa resultatet.

Tentamina

Vid tentamina är inga hjälpmedel tillåtna (speciellt inte miniräknare). Dock kommer ett formelblad att medfölja tentamenslappen. Eget skrivpapper får ej medföras.
Följande länk ger viktig information om att tentera på Chalmers: Att tentera

Schema
Föreläsningar/Övningar/Datorlaborationer
Måndag  8 - 10
10 - 12
10 - 12, v. 2, 4, 6		 Föreläsning i GD
Övningar i FL 61-62, grupp a och c
Datorlaboration med MATLAB i 4009-4011, grupp b och d
Onsdag  8 - 10
10 - 12
10 - 12, v. 2, 4, 6		 Föreläsning i GD
Övningar i FL 61-62, grupp b och d
Datorlaboration med MATLAB i 4009-4011, grupp a och c
Torsdag  8 - 10
10 - 12		 Föreläsning i HB1
Storgruppsövning i GD

Laborationerna är obligatoriska (vid minst 2 av 3 laborationstillfällen krävs närvaro)!

Arbetsprogram, föreläsningar
Preliminär plan
  Bokavsnitt Innehåll
v 1 PB1: Kap 8.1-8.3
PB1: Kap 8.4-8.6
PB1: Kap 8.7-8.8, kompl.		 Differentialekvationer: Fysikaliska exempel. Linjära och separabla.av första ordn.
Integralekvationer, linjära diff.ekv., speciellt av andra ordningen.
Linjära ekvationer av godtycklig ordning.
v 2 PB1: Kap 8.8-8.9
PB1: Kap 9.1-9.2
PB1: Kap 9.3-9.5		 Linjära diff.ekv, några speciella ekvationer.
Taylors och Maclaurins formler: Approximation med Taylorpolynom.
Standardutvecklingar, entydighet och gränsvärdesberäkningar.
v 3 PB1:Kap 9.6, ELW:16.9-16.10
PB2: Kap 1.1-1.4
PB2: Kap 1.5-1.6		 Gränsvärdesberäkningar, l`Hospitals regel.
Mängder i Rn , funktionsytor, nivåkurvor, nivåytor, rymdkurvor, andragradsytor
Gränsvärden och kontinuitet för funktioner av flera variabler.
v 4 ELW: Kap 17.1-17.4
ELW: Kap 17.5-17.6
Extra		 Talföljder. Differensekvationer.
Differensekvationer.
Iteration, Newton-Raphsons metod.
v 5 ELW: Kap 18.1-18.3
ELW: Kap 18.4-18.5
ELW: Kap 18.5-18.6		 Serier: konvergens och divergens, huvudsatsen, integralkriteriet.
Jämförelsekriterier, rot- och kvotkriterierna, alternerande serier, Leibniz' kriterium.
Absolutkonvergens, omordning av serier.
v 6 ELW: Kap 19.1-19.2
ELW: Kap 19.3-19.4 
ELW: Kap 19.5, App. A		 Potensserier: Taylorserier, potensserier och deras konvergens.
Derivation och integration av potensserier, lösning av differentialekvationer.
Funktionsserier och funktionsföjder: punktvis och likformig konvergens.
v 7 ELW: App. B, C, D
Reserv, repetition
 		 Dominerad konvergens, omkastning av gränsprocesser.

Arbetsprogram, övningar
Preliminär plan
  Bokavsnitt Läraren demonstrerar Teknologen räknar
v 1 PB1 Kap 8: 8c, 9b, 20, 23e  ||
28, 34, 38c, 49b, 42  ||		 8b, 9(övr), 18, (19)
21, 23(övr), 24, 37, 38ab, 39, 40, 43, 47-51, 53
v 2

PB1 Kap 8:

PB1 Kap 9:

 51bd, 56a, 58a, 63c ||
67, 71a, 75, 
10, 15  ||		 62, 63, 64, 52, 54-57
65, 66, 70, 71b, 74, 75
14, 16, 24, 26, 27a
v 3 PB1 Kap 9:
ELW Kap 16:		 20, 25, 27b, 28b, 29b, 31cb ||
39, 40a, 43bc, 44a  ||		 30, 31a, 29, 40, 41, (44), 45
6, (12a, 14*), 23, 40b, 42c, 43f
v 4 PB2 Kap 1: 

ELW Kap 17: 		 6+11, 12c, 17bc, 25cd, 27b ||
28ce, 30e, 33
4ab, 9bf, 13 ||		 2b, 5, 7, 12ab, (17), 21cd, 23
25aeg, 26b, 28abd, 29
4c, 5, (8), 9acde
v 5 ELW Kap 17:
ELW Kap 18:		 15ch, 16b, 17c
3abc, 16a ||
18a, 20c, 22, 24, 27c ||		 15bde, 16d, 17be
4d, 6, 10, 16b
20b, 23, 27b
v 6 ELW Kap 18:
ELW Kap 19:		 28bd, 29ac, 35a, 36e, 37bcd ||
2cfor, 3c, 4b ||		 28a, 29bd, 30ad, 34, 35b
36ac, 37a(d), 2bek, (3, 4övr)
v 7 ELW Kap 19: 6ce, 7, 8b, 9df, 10 ||
14a, 19, 20, 22b, 24, 29 ||		 6ab, 8ac, 9b
14cd, (15, 16), 21, 22a

Arbetsprogram, Matlab/datorlaborationer
Preliminär plan
  Bokavsnitt Innehåll
v 1-2 Kap 1: kursivt,
Kap 2: Grunderna

Kap 3.1-7 (1-6)*: Matriser

Kap 4.1, 4.3:
Kap 13.1, 2, 4 (1, 3)*: Grafik
 		 Ex: 1-5, 8 och 10
Ex: 1-13: Om variabler, inbyggda funktioner, spara och ladda data, mm.
Ex: 14-15: Kommandofiler och funktionsfiler i Matlab, s.k. m-filer
Ex 2-7: Addition, multiplikation, transponering, "division"- ekvationssystem
Ex 9-10: Om elementvisa operationer och elementvisa funktioner
Ex 4.1, 9-10: Några speciella matriser och om vektorer och delmatriser
Ex 1-5: Om att rita grafer
Ex 8, (9), 10, 11: Mer om grafer i Matlab och om att manipulera grafiken
v 3-4 Kap 6.1-2:
Kap 7.1-2:
Kap 11.1: Integraler
Kap 11.2: Differentialekvationer
Kap 12.1-5: Programmering
 		 Ex 1-3: Om max/min, summor, produkter, differenser
Ex 1, 3: Om determinanter, inverser och ekvationssystem
Ex 1: Beräkning av integraler
Ex 2: Om att lösa differentialekvationer numeriskt.
Ex 1-4: Lite logik, "if och switch"-satserna
Ex 5a-d(g): "for"-satsen mm.
Ex 6ab, 7: "while"-satsen
Ex 8: Felhantering
v 5-6 Kap 10.1: Polynom
Kap 10.2: Nollställen
Kap 10.3: Max/Min
Kap 10.4: Interpolation		 Ex 1: Polynom i Matlab
Ex 2: Nollställen till funktioner, (Newton Raphsons metod)
Ex 3: Minimum och maximum av funktioner
Ex 4, 6: Interpolation, Polynomanpassning med "polyfit"
*Inom parentes står motsvarande kapitel för version 5 av "Användarhandledning för Matlab" (PS)
Extra övningsuppgifter för MATLAB vecka 6:  finns här

Kommentar: I version 5 av (PS) refereras till funktioner på ett "felaktigt" sätt (sett ur Matlab 6's synvinkel).I stället för att referera till en funktion med "fnuttar" (dvs 'namn') utnyttjar man numera s.k. funktionshandtag (@namn), ett slags pekare till funktionen. (T.ex. @sin istället för 'sin')

Gamla tentor
Teorifrågor
Minst en av teorifrågorna hämtas från nedanstående lista:
  1. Lösning till en linjär differentialekvation/differensekvation kan delas upp i en partikulärlösning och en homogen lösning. (PB1 sats 8.1 och ELW sats 17.4) 
  2. Lösningsformeln för en homogen linjär differentialekvation av ordning 2 (se PB1 sats 8.2, jfr med ELW sats 17.5) 
  3. Maclaurins formel (se PB1 sats 9.1) 
  4. Standardutvecklingar av några elementära funktioner (PB1 sats 9.2, ELW sats 16.6) 
  5. Entydighet av Maclaurinutvecklingar (PB1 sats 9.3)
  6. l'Hospitals regel (ELW sats 16.8)
  7. ELW sats18.2, 18.5
  8. Integralkriteriet (ELW sats 18.6, PB1 sats 7.1)
  9. Jämförelsekriteriet för positiva serier (ELW sats 18.8)
  10. Rotkriteriet (ELW sats 18.10)
  11. Leibniz' konvergenskriterium (ELW sats 18.13)
  12. Om potensseriers konvergens (ELW sats 19.2-3)
  13. Weierstrass' majorantsats (ELW sats 19.9)
  14. Om gränsövergång under integraltecknet vid likformig konvergens (ELW sats19.10)


Senast uppdaterad: 26/11 2004