Main

2016-08-22: Här är dagens tenta och ett lösningsförslag.

2016-05-02: Tentan från den 7 april blev rättad och bokförd i april (ursäkta den sena uppdateringen här). Den kan granskas och hämtas på Expeditionen.

2016-04-11: Den ordinarie tentan (från 19 mars) är nu rättad och bokförd. Granskning ordnas på torsdag den 14 april klockan 12.00-13.00 i sal MVL:11 på Matematiska vetenskaper. Därefter finns tentorna tillgängliga på Expeditionen.

2016-04-08: Här följer gårdagens omtenta och ett lösningsförslag. När tentan är rättad kommer detta att annonseras här.

2016-03-20: Här följer lördagens tenta och ett lösningsförslag. (Reservation för tryckfel i lösningarna. På uppgift 5 används antalet 3000 i lösningsförslaget, enligt rättelsen som meddelades under tentan. Har man löst uppgiften med 300 istället går även detta bra.) Vi rättar så fort vi hinner, men på grund av det stora antalet skrivande kan det ta 2-3 veckor. När tentan är rättad kommer det att meddelas, och tid för granskning kommer att anslås, på denna sida.

2016-03-15: På tentan får inga räknedosor användas, oavsett om de är Chalmersgodkända eller inte. Ordlistan som finns länkad på denna sida får skrivas ut och tas med utan anteckningar eller indexeringar. Inga övriga hjälpmedel är tillåtna.

2016-02-29: Nu finns det 4 gamla tentor nedan att öva på.

2016-02-29: I vissa avsnitt i Kapitel 6 talas det om QR-faktorisering. Dessa delar kan ni hoppa över. På föreläsningen den 7/3 kommer jag att ge en översikt av denna och liknande faktoriseringar/uppdelningar av matriser, för framtida kännedom, men dessa faktoriseringar/uppdelningar kommer inte att examineras.

2016-02-23: Några har frågat om de duggauppgifter som handlar om att man ska hitta egenvärden till en viss rotation, reflektion eller projektion i rummet. En ledtråd är att det i princip inte behövs några räkningar för att lösa dessa problem - frågan testar förståelsen av begreppet egenvärde och kan lösas genom att tänka på vad den aktuella linjära transformationen egentligen gör.

2016-02-16: Från och med denna vecka demonstreras vissa jämna uppgifter på räkneövningarna, enligt programmet längre ned på sidan.

2016-02-08: Från och med denna vecka är övningsgrupp A borttagen på grund av för litet studentantal. Studenter i den gruppen ombeds söka sig främst till grupp B och C. Detta gäller endast övningarna; labb-grupperna påverkas inte alls.

2016-01-26: tiden för den första duggan har förlängts med 24 timmar för att även de som registrerats sent ska hinna göra den.

Välkommen till kursen i Linjär algebra, ett ämne som är både centralt i stora delar av den moderna matematiken och viktigt för tillämpningar!

Behöver du mer hjälp med matematiken utöver räkneövningarna? Mattesupporten finns då där för dig! Den håller till på Chalmers bibliotek onsdagar och torsdagar klockan 17-19; där får du sitta och räkna och kan få hjälp av erfarna studenter.

Schemat för kursen hittar du via länken till webTimeEdit på sidans topp.

Kursansvarig: Seidon Alsaody, Matematiska vetenskaper, rum MVL:2108, seidon[at]chalmers.se

Övningsledare:
                                                                    Grupp A: Valentina Fermanelli ENDAST VID LABBAR
                                                                    Grupp B: John Pavia
                                                                    Grupp C: Fredrik Hellström
                                                                    Grupp D: Johan Davegård

Grupperna är som följer:

Labbar:
Ni som går Z-programmet använder samma grupper A, B och C som i kursen Grundläggande datorteknik.
Ni som går TD-programmet ingår alla i grupp D.
Lärarna turas om att handleda de olika labbarna.

Övningar:
Ni som går Z-programmet fördelar er jämnt över grupperna B och C.
Ni som går TD-programmet ingår alla i grupp D.

Lay, Lay, McDonald; Linear Algebra and its Applications, 5th Edition.

Om man har den fjärde upplagan av boken kan man i princip använda den, men man ska vara medveten om att övningar, kapitel och sidor kan ha bytts ut, tagits bort eller lagts till, och det är ens eget ansvar att ta reda på hur detta ligger till. Tredje och tidigare upplagor rekommenderas inte.

Jag kommer att försöka ge de engelska benämningarna på olika begrepp när vi går igenom dem (om de inte är uppenbara). En mer omfattande matematisk ordlista, skapad av Uppsalamatematikern Anders Vretblad, finns här.

Undervisningen består av datorlaborationer i MatLab, föreläsningar och räkneövningar, enligt planen nedan.

Varje vecka tar vi i regel upp ett nytt kapitel i boken. Vi går igenom ny teori, som illustreras med exempel, under ett antal föreläsningar enligt planen nedan. Dessutom har vi två räkneövningar där ni får lära er teorin genom att lösa problem. Dessutom har ni en datorlaboration varje vecka, där ni får arbeta med kursens material i en praktisk och yrkesförberedande miljö.

På så sätt lär ni er den teoretiska grunden, hur man löser problem och implementerar detta.

Föreläsningar
För bästa resultat bör man bläddra igenom motsvarande avsnitt inför varje föreläsning, och sedan läsa igenom sina anteckningar och/eller avsnitten noggrant efter föreläsningen.

Dag	Avsnitt	Innehåll	Veckans viktiga vetande
18/1	1.1-3	Intro, repetition av linjära ekvationssystem, vektorer	Lösa ekvationssystem, vektorekvation, matrisekvation
19/1	1.4-5	Lösningsmängder till linjära ekvationssystem	Linjärkombination, hölje (span), geomterisk tolkning
22/1	1.5, 1.7	Linjärt beroende	Lösningsmängder, parametrar, linjärt (o)beroende

25/1	1.8-9	Linjära avbildningar	Def. av linjaritet, ta fram matris, avgör injektiv/surjektiv
26/1	2.1	Matriser och matrisräkning	Matrisaddition och -multiplikation, transponat
29/1	2.2-2.3	Invers och inverterbarhet	Matrisinvers, beräkning av inversen

1/2 fm	2.3	Uppsamling och repetition	Villkor för inverterbarhet, inkl. determinantvillkoret
1/2 em	3.1-2	Determinanten: räkning och egenskaper	Beräkna determinant med kofaktorer och radoperationer
5/2	3.3	Determinantens betydelse	Cramers regel, adjunktmatris, determinant som area/vol.

8/2	4.1-2, 2.8	Vektorrum och delrum	Axiom för vektorrum och delrum. Kolonnrum, nollrum.
9/2	4.3-4, 2.8	Baser och koordinatsystem	Hitta bas för delrum, ange koordinater i olika baser
12/2	4.5-6, 2.9	Dimension och rang	Definitionen av dimensio. Rangsatsen. Radrum.

15/2	4.7	Basbyten; uppsamling och repetition	Byta mellan olika baser. Konstruera basbytesmatris.
16/2	5.1-2	Egenvärden och egenvektorer	Egenvektor, egenvärde. Beräkna egenvärden & egenrum.

12/2 fm	5.3-4	Diagonalisering	Avgöra diagonalierbarhet, diagonalisera matris
22/2 em	4.9, 5.7	Tillämpningar av egenvektorer och diagonalisering Komplexa egenvärden och source/sink/saddle-karakterisering i 5.7 ingår inte.	Linjära system av diff.ekvationer: lösa med diagonalisering Markovkedjor: ta fram & använda matris, finna steady state
23/2	6.1	Avstånd och vinklar, inre produkter och ortogonalitet	Skalärprodukt, längd, avstånd, ortogonal, ort. komplement
26/2	6.2-6.4	Ortogonal projektion; Gram-Schmidts metod	Ortogonal bas, koordinater, ortogonal projektion, GS-metod

29/2	6.5-6.6	Minstakvadratmetoden	MK-lösning, ställa upp och lösa normalekv., beräkna MK-fel
3/3	7.1	Symmetriska matriser, ortogonal diagonalisering	Diagonalisera symmetriska matriser ortog., spektralsats
4/3	7.2	Kvadratiska former	Kvadratisk form, principalaxel, diagonalisering

7/3	2.4-2.5, 6.4	Matrisuppdelningar (översikt); problemdemo	-
8/3		Repetition	-
10/3		Repetition: Tenta från april 2015 (se nedan)	-

Rekommenderade övningsuppgifter
Att hänga med när någon löser problem och att själv kunna lösa problem är två helt olika saker! Matematik lär man sig genom att göra, och det får ni tillfälle till på räkneövningarna. Övningsledarna finns där för att svara på frågor, gå igenom uppgifter på tavlan och hjälpa er när ni räknar själva -du rekommenderas starkt att ta vara på denna resurs!

Tips: Det uppmuntras att lösa uppgifter i grupp; att förklara hur man tänker för andra förbättrar den egna förståelsen.

Uppgifter i fetstil är ska prioriteras av alla, medan de andra är antingen mer teoretiska eller avser tillämpningar; målet är att du ska lösa de flesta uppgifter nedan. P står för alla Practice Problems i slutet av avsnittet (oftast 2-3 stycken). Dessa är utmärkta för att komma igång med räknandet.

Se till att alltid vara i fas med kursen; om du märker att du halkar efter, hoppa hellre över de icke-fetstilta uppgifterna och återkom till dem senare; det är bättre än att ligga flera avsnitt efter schemat. Avancez !

Dag	Uppgifter att räkna	Uppgifter som demonstreras
19/1	1.1: P, 3, 9, 13, 17, 23, 19, 29, 33. 1.2: P, 3, 11, 13, 17, 21, 7, 19, 25, 29, 31. 1.3: P, 1, 3, 5, 11, 17, 23, 9, 21, 25, (27).
21/1	1.4: P, 1, 9, 11, 13, 23, 19, 31. 1.5: P, 1, 5, 9, 15, 19, 23, 17, 21, 33.
26/1	1.5: De uppgifter som är kvar från förra gången. 1.7: P, 5, 11, 15, 21, 27, 31, 37. 1.8: P, 1, 5, 9, 11, 15, 17, 21, 29, 35. 1.9: P, 1, 3, 15, 19, 23, 7, 27, 35.
28/1	2.1: P, 1, 7, 15, 27, 5, 10, 11.
2/2	2.2: P, 1, 5, 9, 13, 31, 33, 21. 2.3: P, 1, 3, 7, 11, 33, 13, 15, 27.
4/2	3.1: P, 3, 9, 13, 19, 3.2: P, 5, 9, 13, 19, 21, 25, 27, 39, 31.
9/2	3.3: P, 1, 9, 11, 19, 23, 17, 27. 4.1: P, 1, 7, 9, 13, 17, 23, 27, 31. 4.2: P, 1, 5, 7, 15, 23, 25, 15, 27, 31.
11/2	4.3: P, 1, 5, 7, 13, 15, 21, 33, 19, 29, 2.8: P (demonstreras ej), 15, 23, 25.
16/2	2.9: P, 1, 7. 4.4: P, 1, 5, 9, 13, 15, 27, 3, 7, 17, 31. 4.5: P, 1, 11, 13, 19, 21, 27, 29. 4.6: P, 1, 5, 11, 15, 17, 19, 27.	4.4: 2, 6, 10, 14 4.5: 4, 18. 4.6: 2, 8.
18/2	4.7: P, 1, 7, 11, 13, 3, 15. 5.1: P, 3, 11, 15, 17, 21, 31, 23, 25. 5.2: P, 9, 15, 21.	4.7: 2, 8. 5.1: 2, 6, 10. 5.2: 2, 10.
23/2	5.3: P, 1, 9, 11, 13, 21, 25, 31. 5.4: 1, 9, 11, 13. 5.7: 1, 3, 5, 7. 4.9: 1, 3, 5, 9.	5.3: 2, 8, 12. 5.7: 4. 4.9: 2.
25/2	6.1: P, 1, 7, 9, 13, 15, 19, 23, 25, 27	6.1; 2, 10.
1/3	6.2: P, 1, 3, 9, 11, 13, 15, 17, 23, 27 6.3: P, 1, 3, 9, 11, 13, 17 6.4: P1, 3, 7, 9, 17.	6.2: 2, 8, 12. 6.3: 4, 12. 6.4: 4, 8.
3/3	6.5: P, 3, 5, 7, 11, 17, 13. 6.6: P, 1, 7a, 7b, 5. 7.1: P, 1, 9, 13, 17, 19, 25, 23, 29, 35.	6.5: 4, 8. 6.6: 2. 7.1: 8, 14, 20.
8/3	7.2: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 21, 19. Repetition	7.2: 2, 4, 10. Tenta från aug 2015 (se nedan)

Datorlaborationerna är ett eget moment om 1,5 hp i kursen och examineras på plats. Det betyder att man, för att bli godkänd på kursen, måste delta i alla datorlaborationer. Övriga 6 hp examineras genom en tenta i slutet av kursen, se nedan.

Material: Materialet till alla laborationer hittar ni här, under rubriken Linjär algebra.

Referenslitteratur:

Material (utvecklat av MV) som ger en kortfattad introduktion till Matlab
Holly More, MATLAB for Engineers
Ger en introduktion till Matlab och kräver inledningsvis ingen matrisalgebra. Är utmärkt för självstudier.
Per Jönsson, MATLAB-beräkningar inom teknik och naturvetenskap
Kräver kunskaper i Matrisalgebra. Innehåller lite mer avancerade övningar och modelleringsuppgifter. Är utmärkt som referenslitteratur/uppslagsbok.

Kursens mål finns angivna i kursplanen. Mer konkret anger "Veckans viktiga vetande" i föreläsningsplanen ovan de viktigaste begreppen och metoderna från aktuella delar av kursen.

7 duggor kommer att hållas under kursens gång, och ni gör dessa på egen hand i programmet MapleTA. Programmet rättar duggorna automatiskt. Ni kan göra duggorna när och var ni vill inom följande tidsramar.

Dugga	Kan göras under tiden
1	tisdag 19/1 16:00 – onsdag 27/1 23:59.
2	fredag 22/1 16:00 – tisdag 2/2 23:59.
3	fredag 29/1 16:00 – tisdag 9/2 23:59.
4	fredag 5/2 16:00 – onsdag 17/2 23:59.
5	fredag 12/2 16:00 – onsdag 24/2 23:59.
6	fredag 19/2 16:00 – onsdag 2/3 23:59.
7	fredag 26/2 16:00 – onsdag 9/3 23:59.

Förutom att vara bra övningar ger duggorna även upp till 5 bonuspoäng till tentan! Den som är godkänd på minst 3 duggor får n-2 bonuspoäng, där n är antalet godkända duggor. Bonusen är giltig under innevarande läsår (ordinarie tenta i mars, omtentan i augusti, ordinarie tenta mars 2017 och omtentan påsken 2017.)

Tekniska anvisningar

Kursdeltagare kommer så snart möjligt att få ett konto i MapleTA och i samband med upprättandet av det ett e-brev med inloggningsuppgifter till e-postadressen på Chalmers. Om du är registrerad på kursen (var med på inskrivningen) gör du så här: Gå till MapleTA och fyll i ditt User login som är ditt CID. Klicka sedan på Forgot your Password? och du får ett nytt lösenord via e-post till din chalmersadress.

Duggorna är utmärkta för att kontinuerligt repetera och kontrollera dina kunskaper. Det är tillåtet att diskutera och samarbeta kring uppgifterna, samt att använda bok och anteckninger. Det är dock inte tillåtet att låta någon annan lösa en dugga åt dig, eller att låta en programvara lösa duggan; förutom att försämra din inlärning räknas detta som fusk.

Varje exemplar av din dugga är giltigt fram till stängning. Du kan välja att arbeta med samma dugga hela tiden. För att arbeta med samma dugga hela veckan låter du bli att klicka på GRADE förrän du känner dig färdig.

För varje uppgift på duggan kan du kontrollera ditt svar genom att i uppgiften klicka på länken HOW DID I DO? . I en del uppgifter finns en livboj som du kan klicka på för att se hur man löser en liknande uppgift.

Du kan göra duggan hur många gånger du vill så länge den är tillgänglig. Bästa resultatet räknas. Om du startar om med ett nytt exemplar ser det annorlunda ut än förra gången; uppgifterna är likartade men inte samma.

Du behöver inte vara inloggad hela tiden. Om du vill logga ut under tiden duggan pågår klickar du på Quit & Save. När du loggar in igen och öppnar duggan har du då kvar ditt exemplar. Högst upp till höger på duggan kan du se den tid som är kvar.

För att rätta duggan klickar du på GRADE. Rekommendationen är att arbeta med samma dugga hela tiden och inte klicka på GRADE förrän man har klarat alla uppgifter.

På den sida i Maple TA där du öppnar duggan finns länken GRADEBOOK längst upp till vänster. Om du klickar där kan du se dina registrerade resultat.

Generellt gäller att du ska skriva dina svar som på en miniräknare.

Tänk på att

skriva multiplikation med * : skriv t.ex. x*y och inte xy !
skriva kvadratrötter med sqrt : skriv t.ex.2√ som sqrt(2) .
inte skriva decimaltal (som i så fall skulle skrivits med decimaPUNKT): skriv t.ex. 1/8 och inte 0.125 .
i svar ska potenser av heltal som går att räkna ut exakt vara beräknade: skriv t.ex. 81 och inte 3⁴ (om inget annat framgår av uppgiften).

I de felsta uppgifter finns en länk PREVIEW. Använd den för att se att Maple TA uppfattar det du skrivit korrekt. (Den fungerar inte i alla uppgifter!)

Examinationen består av två delar, dels av en skriftlig tentamen (om 6 hp), dels av laborationerna ovan (om 1,5 hp). För att bli godkänd måste man bli godkänd på båda delarna! Om man blir godkänd avgörs betyget av resultatet på tentamen.

Laborationerna examineras genom att labbhandledaren inspekterar vad du gjort och avgör om det är godkänt.

Tentamen kommer att bestå av en grundläggande del (om 32 poäng) och en överbetygsdel (om 18 poäng), sammanlagt alltså 50 poäng. För att bli godkänd på tentan krävs att man får minst 25 poäng på den grundläggande delen, inklusive bonuspoäng från duggorna ovan. För att få betyg 4 och 5 krävs dessutom att man får 33 respektive 42 poäng totalt på hela tentamen.

Observera att poäng från överbetygsdelen inte spelar någon roll för att bli godkänt. Dessutom gäller att man på den grundläggande delen inte kan få mer än 32 poäng, även om summan av ens tentapoäng och bonuspoäng blir mer än 32. I sådana fall avrundas poängen till 32.

I Chalmers Studentportal kan du läsa om när tentor ges och om vilka regler som gäller kring att tentera på Chalmers.

Vid tentamen ska du kunna uppvisa giltig legitimation och kvitto på erlagd kåravgift.

Meddelande om resultat får du med epost, som skickas automatiskt när resultaten är registrerade. Alternativt kan du gå till Ladok via inloggning i Studentportalen.

Granskning vid ordinarie tentamen:
Då det är praktiskt möjligt ordnas ett separat granskningstillfälle av tentamen. Tidpunkt för detta meddelas på kurshemsidan. Den som inte kan delta vid granskningen kan efter granskningstillfället hämta och granska sin tenta på Matematiska vetenskapers studieexpedition, måndag till fredag, kl 9.00-13.00. Kontrollera att Du har fått rätt betyg och att poängsumman stämmer. Eventuella klagomål på rättningen ska lämnas skriftligt på expeditionen, där det finns en blankett till hjälp.

Vid omtentamen:
Tentorna granskas och hämtas ut på Matematiska vetenskapers studieexpedition, måndag till fredag, kl 9.00-13.00. Eventuella klagomål på rättningen ska lämnas skriftligt på expeditionen, där det finns en blankett till hjälp.

I början av kursen bör minst två studentrepresentanter ha utsetts för att tillsammans med lärarna genomföra kursutvärderingen. Utvärderingen sker genom samtal mellan lärare och studentrepresentanter under kursens gång samt vid ett möte efter kursens slut då enkätresultatet diskuteras och rapport skrivs.
Se följande mall för Utvärdering av kurser i studentportalen.

Här kommer några gamla tentor att läggas upp under kursens gång, för att ge en uppfattning om tentans utformning och som extra övningar.
VARNING! Att lösa gamla tentor ska ses som ett komplement till, och inte en ersättning för, övrig aktivitet såsom deltagande i föreläsningar och räkneövningar, samt problemlösning ur boken.

Tentamen från mars 2015 med lösningsförslag.

Tentamen från april 2015 med lösningsförslag.

Tentamen från augusti 2015 med lösningsförslag.

Tentamen från januari 2014, samt lösningsförslag.