Sats: Om ACB är en rätvinklig triangel, så är c² = a² + b² .

Denna koncisa formulering av satsen bygger på att man är bekant med matematiskt språkbruk och betäckningssätt. Låt oss titta närmare på hur detta fungerar!

När man skriver att ABC är en triangel i planet, betyder det att man har tre punkter i planet som betecknas respektive C. Den triangel det är fråga om när man skriver triangeln ABC är den man får genom att förena de tre punkterna med varandra parvis med streckor:

När man säger att ACB är en rätvinklig triangel betyder det att vinkeln vid C (den mittersta punkten i uppräkningen ACB) är rät. För att markera att vinkeln vid C är rät brukar man sätta en liten kvadrat vid detta hörn som i figuren nedan.

Givet dessa beteckningar betyder c längden av den mot C stående sidan i triangeln (d.v.s den sida, eller strecka, som inte råkar C ). På samma sätt betecknar a och b längden av de mot A respektive B stående sidorna:

Den sida som står mot det vinkelräta hörnet kallas hypotenusa, medan de andra två är katetrar i den rätvinkliga triangeln. Hypotenusans längd, med våra beteckningar c, är alltid längre än katetrarnas längder, i vårat fall a respektive b.

Innebörden i Pythagoras sats är att i en rätvinklig triangel ACB gäller ett visst samband mellan de tre talen och c, nämligen

c² = a² + b²

Testövning 1.1
a) Finns det någon rätvinklig triangel med sidor vars längder är 2 , 2 , respektive 3 ?
Ja   Nej

b) Varför är har hypotenusan större längd en var och en av katetrarna i en rätvinklig triangel?
Hjälp

c) I den rätvinkliga triangeln ACB är a = 3 och c = 5 . Vad är b ?

Ja   Nej   Hjälp

I matematiken vimlar det av olika påståenden. T.ex.

• Om x > 1 så är 2x > 2 ,
• 5 är inte delbart med 3 ,
• Varje heltal mindre än 100 , är det delbart med ett heltal mellan 2 och 10 ,
• Om en cirkel har radie r , så har den omkrets
• Om ABC är en triangel, så är summan av dess vinklar 180 ° (eller ).

En del sanna påståenden är så betydelsefulla att de förtjänar att kallas satser. Oftast är det heller inte lätt att omedelbart förstå att de är korrekta; det krävs ett bevis för detta.

Påståendet ''om x > 1 så är 2x > 2,'' är visserligen sant, men inte så betydelsefullt för matematik i allmänhet att det förtjänar att kallas en sats. Däremot kan det vara viktigt i en speciell situation.

Gemensamt för de flesta satserna (och påståenden) är att de består av två delar:

• en (rad) förutsättning(ar),
• en slutsats (som påstås stämma om förutsättningarna gäller).

I Pythagoras sats så är förutsättningen att ACB är en rätvinklig triangel och slutsatsen är att c² = a² + b².

I (det felaktiga) påståendet ''Varje heltal mindre än 100, är det delbart med ett heltal mellan 2 och 10 ,'' är den delvis outtalade förutsättnignen att man har ett heltal mindre än 100 och slutsatsen är att det (i så fall) är delbart med något av talen eller 10 .

Det är viktigt att hålla isär förutsättningar och slutsats; om man t.ex. har en triangel ABC med sidor av längd och 5, så är 5² = 3² + 4² . Slutsatsen i Pythagoras sats stämmer alltså, men av det kan man inte, med hjälp av Pythagoras sats, dra slutsatsen att ABC är en rätvinklig triangel. Detta är visserligen korrekt, men man kan inte förstå det genom att använda Pythgaoras berömda sats. Låt oss nu se om vi kan bevisa Pythagoras sats.

Syftet med ett bevis är att ställa det utom allt tvivel, för en själv och andra, att satsen är korrekt. När en sats väl bevisats kan den användas utan att man vid varje enskilt tillfälle behöver förstå varför den är sann.

I ett bevis kan man använda sig av

• satsens förutsättningar,
• redan kända (bevisade) satser och förhållanden,
• fiffiga knep,
• och ett logiskt korrekt resonemang.

Den tredje punkten avslöjar varför det kan vara svårt att bevisa ett påstående; förmågan att finna de finurliga trixen bygger på lång erfarenhet av matematik, men är något man kan lära sig med tiden! Här finns också en skönhetsaspekt! Ett bevis för en sats kan bestå av en mängd (i bland oöverskådliga) knep, medan ett annat bevis för samma sats kan kan nöja sig med ett (enda genialt) knep.

Man kan undra om man inte kan ''bevisa'' en sats genom att helt enkelt pröva den i en lång rad fall och se att slutsatsen är korrekt. Här är ett varnande exempel:

Sats: Om n är ett heltal > 1 och m är produkten av alla primtal mellan 2 och n, så är m + 1 ett primtal.

Mins att ett heltal är ett primtal om det bara har det inte kan skrivas som produkt av två heltal > 1. T.ex. är 3, 2, 5, 7, 11, 13, 19 och 23 primtal, men också 2311 (vilket inte är så uppenbart!).

Man kan, och det är vettigt att göra detta, pröva och se om satsen gäller för några värden pä n = 2

Om n = 2, så är m = 2 och m + 1 = 3 , som ju är ett primtal. Slutsatsen stämmer alltså i detta fall.

Om n = 3 , så är och m + 1 = 7 . Slutsatsen stämmer även i detta fall!

Om n = 4 , så är och m + 1 = 7 , så slutsatsen stämmer.

Testövning 1.2
Vad är m + 1 om
a) n = 5 ?

När n = 13 är som alltså inte är ett primtal. Alltså är slutsatsen i satsen felaktig. Satsen är med andra ord ingen riktig sats utan felaktig. (Lägg den därför inte på minnet!)

Vi ser att man kan hålla på ett bra tag att testa en sats praktiskt utan att för den skull lyckas komma fram till att den är korrekt. Vi hade tur som bara behövde hålla på till n = 13 för att inse att satsen var felaktig.

Vi härmed högtidligen och för all framtid, förkasta det praktiska testandet i ett antal fall som metod att bevisa påståenden i matematik.

Här följer nu ett bevis för Pythagoras sats. Starta genom att klicka på knappen:

Starta beviset

Börja med att rita en kvadrat med sida samma längd som hypotenusan i triangeln.

Lägg sedan in triangeln som i figuren. Eftersom vinkelsumman i en triangel är 180° (redan känt förhållande) och vinkeln vid C är 90° enligt förutsättningen, är lika med 90° . Detta ger att .

Vi kan därför lägga in triangeln ytterligare en gång i kvadraten som i figuren.

Proceduren kan upprepas en gång till enligt samma argument som tidigare.

En sista upprepning ger resultatet i figuren. Med hjälp av det knep vi nu genomfört kan vi ganska lätt komma fram till slutsatsen i Pytagoras sats genom att jämföra areor (använder tidigare kända begrepp).

Observera att det i figuren uppstått en liten kvadrat inuti den stora vars sida har längd b - a. Därför har den area ( b - a )². Om vi beräknar den större kvadratens area genom att summera trianglarnas areor och den mindre kvadratens area får vi

c² = 4( ab / 2 ) + ( b - a )²

c² = a² + b²

Nu ska du fä chansen att pröva på att göra egna bevis. Du får lite hjälp med de knep som är nödvändiga. Klicka på ett alternativ för att starta.

Vinkelsumman i en triangel

Rätvinkliga trianglar

En välkänd olikhet

Sats: Summan av vinklarna i en triangel är 180° (eller ).

Låt ABC vara en triangel vilken som helst. Låt oss rita en figur:

Det är nu viktigt att försöka förstå att även om vi ritat en alldeles speciell triangel, så kommer det vi gör i fortsättningen att funger för vilken triangel som helst.

Drag linjen genom A och B och drag en linje genom A som är parallell med streckan BC:

Varför kan detta vara ett användbart knep?

Man känner igen vinklarna vid A.

Summan av de markerade vinklarna vid A är 180° .

Eftersom det finns två parallella linjer i figuren, måste summan av tre vinklar bli 180° .

Vi ser att att och att är 180° . Tillsammans ger detta att är 180° .

Sats: Om AB är diagonal till en cirkel och C är en annan punkt på denna cirkel, så har triangeln ABC rät vinkel vid C

Låt oss rita en figur för att förstå hur det hela ser ut:

Det är viktigt att du i beviset inte använder att C valts på ett speciellt sätt.

Markera mittpunkten på streckan AB och kalla den O. Drag också streckan OC:

Varför är detta knep användbart?

Triangeln ABC delas upp i två trianglar som har ett hörn i cirkelns medelpunkt.

Triangeln ABC delas upp i två likbenta trianglar.

Trianglarna AOC och BCO har samma area.

Eftersom AOC är likbent måste och . Vinkelsumman i en triangel är 180° och vinkeln vid C är .

Vad är nu ?

°

Eftersom vinkelsumman i ABC är 180° och vinkeln vid C är får vi att är 180° . Division med 2 ger nu att är 90° och du har visat att vinkeln vid C är 90° .

Sats: Om x och y är positiva rella tal, så gäller att .

Här får du möjlighet att välja mellan två typer av bevis

Ett geometriskt bevis.   Ett algebraiskt bevis.

Börja med att rita en rätvinklig triangel med katetrar av längd respektive :

Enligt Pythagoras sats har hypotenusan längd Lägg in triangeln fyra gånger i kvadraten med sida som i beviset för Pythagoras sats:

Varför är detta en fiffig konstruktion?

Man kan jämföra längder i de två kvadrater som uppstått.

Man kan jämföra areor.

Summan av trianglarnas area är större än den lilla kvadratens area

Den stora kvadratens area är medan summan av trianglarnas area är som är mindre än (eller lika med) kvadratens area, d.v.s. . Division med 2 på båda sidor ger nu

Eftersom en kvadrat allltid är större än eller lika med 0, har man att .

Varför kan detta vara användbart?

Om man drar roten ur båda leden får man något användbart.

Utveckling ger något användbart.

Man kan använda konjugatregeln för att se något användbart.

Utveckling ger och addition av i båda leden ger sedan . Division med 2 i båda leden ger nu .