Avståndet mellan två tal x och y på tallinjen betecknas

| y - x |.

Om x ligger till vänster om y ( x < y ) är | y - x | = y - x, men om x ligger till höger om y ( x > y ), så är | y - x | = -( y - x ) = x - y.


Speciellt ges avståndet mellan 0 och x av | x |. Om x > 0 är | x | = x, men om x < 0 är | x | = -x.

Eftersom x och -x har samma avstånd till 0 som -x har vi att | x | = | -x |.

Detta ger att | y - x | = | -(y - x) | = | x - y |.

Testövning 2.1 Vad är avståndet mellan x och y om

a) x = 5 och y = -3 ? Svar:

b) x = -3 / 7 och y = -14 / 35 ? Svar:

c) $x=6+2\sqrt{26}$ och $y=\sqrt{26}+1$? Svar:

Exempel 2.1 För vilka tal x gäller att | x -1 | < 2?

Det gäller alltså att bestämma för vilka värden på x som avståndet mellan x och 1 är mindre än 2. De tal som befinner sig på avstånd mindre än 2 från talet 1 är de som ligger mellan 1 - 2 = -1 och 1+2=3. Svaret blir alltså: det tal x sådana att -1 < x < 2.


Exempel 2.2 För vilka tal x gäller att | x - 1 | + | x + 3 | < 5 ?
Hur lyder tolkningen av uppgiften med hjälp av avståndsbegreppet?
Man söker de tal x sådana att avstånden till 1 och 3 samtidigt är mindre än eller lika med 5.
Man söker de tal x sådana att summan av avstånden mellan x och 1 och x och 3 är mindre än eller lika med 5.
Man söker de tal x sådana att summan av avstånden mellan x och 1 och x och -3 är mindre än eller lika med 5.

Man söker alltså de tal vars sammanlagda avstånd till -3 och 1 är mindre än eller lika med 5. Eftersom avståndet mellan -3 och 1 är 4 måste x vara större än eller lika med och mindre än eller lika med .
Svaret blir alltså alla tal x sådana att .

Exempel 2.3 För vilka tal x gäller att | x - 4 | = 3 + | x + 2 | ?

Hur lyder tolkningen av uppgiften med hjälp av avståndsbegreppet?
Avståndet mellan x och 4 ska var lika med summan av 3 och avståndet mellan x och 2.
Förenklingen 3 + 2 = 5 ger att tolkningen blir: avståndet mellan x och 4 ska vara lika med avståndet mellan x och - 5 .
Avståndet mellan x och 4 ska vara lika med summan av 3 och avståndet mellan x och - 2 .

Vi ska alltså bestämma alla tal x sådana att avståndet mellan x och 4 är 3 (längdenheter) större än avståndet mellan x och -2.

Eftersom avståndet mellan -2 och 4 är kan x inte ligga till vänster om -2 och heller inte till höger om 4. De tal vi söker ligger alltså mellan -2 och 4. Mellan dessa tal finns det precis ett tal x som löser vår ekvation nämligen (svara på decimalform).
Svaret blir alltså x=-0,5. Grafen till funktionen x2 ser ut så här: Visa  

För att lösa ekvationen x2 = a (där a är känt) ska man bestämma x - koordinaten för skärningspunkterna mellan grafen och linjen y = a (linje parallell med x-axeln genom punkten ( 0, a) ).

Om a < 0 finns ingen lösning till x2 = a eftersom en kvadrat alltid är icke-negativ Visa  
Om a = 0 har ekvationen bara lösningen x = 0 . Visa  
Om a > 0 finns det precis två olika lösningar till x2 = a ; en positiv och en negativ. Den positiva lösningen kallas kvadratroten ur a och betecknas så att . Eftersom och är negativt är den andra lösningen. Visa  

Observera att om man använder beteckningen så förutsätter man att a är icke-negativt; annars är symbolen meningslös.

Talet är den icke-negativa lösningen till x2 = a2 . Ekvationen har precis två lösningar om och dessa är . Om a > 0 är a den positiva av dessa lösningar, men om a < 0 är -a den postiva. Det gäller alltså att

Eftersom löser ekvationen x2 = a har vi

Ekvationen x2 = ab har den positiva lösningen när ab > 0. Om och är och och Vi ser att är en lösning till x2=ab, som är positiv eftersom produkten av två positiva tal är positiv. Vi har alltså

Det går inte att hitta en motsvarande formel för . Det är mycket populärt, men tyvärr felaktigt att använda formeln

Om man t.ex. väljer a=b=1 ger denna ``formel'' det felaktiga resultatet

Vi vet att när . Om a > 0 kan vi invertera de båda leden och får då . Nu är så vi ser att (som är positivt) löser ekvationen x2=1/a vars positiva lösning är . Vi har alltså

Exempel 2.4 Skriv med högst ett rottecken.

Tydligen måste kunna skrivas som en kvadrat t.ex. som (a-b)2 = a2 - 2ab + b2 . Låt oss se om vi kan bestämma a och b så att . Om vi väljer a = 3 och är Dessutom är . Vi har alltså att

eftersom .

Exempel 2.5 Skriv med högst ett rottecken.

Om man försöker skriva som (a - b)2, där a < b, så ska a = och b =
Man har alltså . Därför är =

Exempel 2.6 Skriv med högst ett rottecken.

Hur tycker du man ska börja?

Skriva om de två faktorerna som respektive och använda konjugatregeln.
Skriva de yttersta kvadratrötterna som en enda.
Kvadrera allt ihopa så att de yttre rötterna försvinner och sedan multiplicera samman.

Det kan vara lämpligt att göra omskrivningen =

Om man nu använder konjugatregeln ( ( a - b )( a + b ) = a2 - b2 ) ) får man att =
Man får alltså att =

Testövning 2.2 Skriv följande uttrck med högst ett rottecken:

a) . Svar:

b) Svar:

c) . Svar: