En viktig princip för (räta) linjer är att en sådan bestäms av två av dess punkter; genom två olika punkter går det precis en linjer.

Man kan kontrastera detta med cirklar; genom två givna punkter går det oändligt många cirklar.


Om man har tre olika punkter A, B och C, hur ska man då kunna avgöra om de ligger på en och samma linje?

Ett sätt är att resonera med hjälp area: Den trehörning (triangel) som har A, B och C som hörn ska ha area noll.


Ett annat sätt är att resonera med hjälp av avstånd: Det kortaste avståndet mellan punkter är längs en linje. Om förhållandena är som i figuren ovan betyder det att avståndet mellan C och A ska vara summan av avstånden mellan C och B och B och A, för att de tre punkterna ska ligga på samma linje.

Genom att införa ett koordinatsystem i planet, så att alla punkter får koordinater, kan problemet lösas genom att man räknar med hjälp av dessa koordinater.


Efter man infört ett koordinatsystem kan man tala om linjers lutning eller riktningskoefficient. De linjer som saknar riktningskoefficient är de som är parallella med y-axeln. För övriga linjer definieras riktningskoefficienten som

där ( x0 , y0 ) och ( x1 , y1 ) är punkter på linjen. Ett argument med likformiga trianglar ger att detta är oberoende av vilka punkter ( x0 , y0 ) och ( x1 , y1 ) man väljer på linjen, och att olika linjer genom punkten ( x0 , y0 ) har olika lutning.


För en tredje punkt ( x , y ) gäller att den ligger på linjen genom ( x0 , y0 ) och ( x1 , y1 ) precis när denna linje har samma lutning som linjen genom ( x0 , y0 ) och ( x , y ). Vi ska alltså ha

Efter multiplikation med x - x0 i båda led ger detta y = k( x - x0 ) + y0. Låter vi nu m = -kx0 + y0, får vi att ( x , y ) ligger på linjen genom ( x0 , y0 ) och ( x1 , y1 ) precis när

y = kx + m

Man brukar säga att punkten ( x , y ) löser eller satisfierar, ekvationen när detta inträffar. Vi kan sammanfatta detta som

Linjen genom de två olika punkterna ( x0 , y0 ) och ( x1 , y1 ), där består precis av alla lösningar till ekvationen y = kx + m, där k och m bestäms av punkterna som ovan.

Villkoret är med för om x0 = x1 så är linjen genom punktena parallell med y-axeln och en sådan linje bestäms av ekvationen x = m, där m = x0 (som inte är av formen y = kx + m ).

Man brukar därför tala om linjen y = kx + m eller x = m, trots att det egentligen är fråga om ekvationer. Observera att k anger linjens lutning och när x = 0 ska y = m, så att linjen går genom ( 0 , m ). Talet m kan alltså avläsas som y-koordinaten i skärningen mellan linjen och y-axeln.

Exempel 2.7 Bestäm (ekvationen för) linjen som går genom punkterna med koordinater ( 1 , 2 ) respektive ( -3 ,4 ) .

Vi vet att linjen är av formen y = kx + m och inte av formen x = m eftersomm de båda punkterna har olika x -koordinater. Uppgiften är att bestämma k och m

Det finns nu två lite olika sätt att lösa problemet på. Välj alternativ!
Med hjälp av formlerna för k och m ovan
Utan formler

Vi har, om vi sätter ( x0 , y0 ) = ( 1 , 2 ) och ( x1 , y1 ) = ( -3 , 4 ) att

och

Linjens ekvation är alltså y = -x/2 + 5/2. Kontrollera detta genom att se att punkterna ( 1 , 2 ) och ( -3 , 4 ) satisfierar ekvationen! Vi vet att ( 1 , 2 ) och ( -3 , 4 ) ligger på linjen y = kx + m, så och 4 = k(-3) + m. Vi ska bestämma k och m så att dessa båda likheter gäller samtidigt, d.v.s vi ska lösa ekvationssystemet

Om vi subtraherar den undre ekvationen från den övre får vi 4k=-2, eller k=-1/2. Om vi multiplicerar den övre ekvationen med 3 så att den blir 3k+3m=6 och adderar den undre får vi 4m=10 , eller m=5/2.

Linjens ekvation är alltså y = -x/2 + 5/2. Kontrollera att punkterna ( 1 , 2 ) och ( -3 , 4 ) löser denna ekvation!

Exempel 2.8 Avgör om punkerna ( -1 , 2 ) , ( 1 , 3 ) och ( 13 , 17 / 2 ) ligger på en linje.

Om y = kx + m är linjen genom ( -1 , 2 ) och ( 1 , 3 ) så är k = och m =
Linjens ekvation är alltså y = x/2 + 5/2. Om man sätter x = 13 , så ska y = om ( 13, y ) ska ligga på linjen.
Eftersom ligger punkten ( 13 , 17 / 2 ) inte på linjen genom ( -1 , 2 ) och ( 1 , 3 ).

Testövning 2.3Bestäm ekvationen på formen y = kx + m, eller x = m, för linjen genom de två första av följande punkter. Avgör också om punkterna ligger på en linje.

a) (0 , 3 / 2 ), ( -1 / 2 , 4 ) och ( 9 , -1 ) . Svar: k = m =    Ja   Nej
b) ( -2 , 3 / 2 ) , ( 2 , 3 ) och ( 6 , 9 / 2 ) . Svar: k = m =    Ja   Nej
c) ( -3 / 2 , 2 ) , ( 1 / 2 , -1 ) och ( 1 / 2 , 3 ) . Svar: k = m=    Ja   Nej

Ofta är det bekvämt att skriva linjens ekvation på en lite annorlunda form. Om ekvationen y = kx + m multipliceras med en konstant får man en ekvation, by = bkx + bm, med precis samma lösningar som den ursprungliga. Sätter vi nu a = -bk och c = bm får vi

ax + by = c,

som alltså också är en ekvation för den ursprungliga linjen. Fördelen med detta skrivsätt är dels att variablerna ( x och y ) står på samma sida, dels att om vi väljer b = 0 och så får vi linjen x = c / a. Varje linje har alltså en ekvation av formen ax + by = c, där a, b och c är konstanter. Nackdelen är att en och samma linje nu kan beskrivas av olika ekvationer (även om dessa förstås har samma lösningar). T.ex. beskriver ekvaitonerna x-2y=3, -2x+4y=-6 och 2x-4y=6 alla linjen y = x/2-3/2 genom (0 ,-3/2) med riktningskoefficient 1/2.

Exempel 2.9 Vilken riktningskoefficient har linjen 2x - 5y = -2 och i vilken punkt skär linjen y -axeln?

Om vi skriver linjen på formen y = kx + m , så är riktningskoefficienten k och skärningspunkten med y -axeln ( 0 , m ).

Vi subtraherar 2x i ekvationens båda led och får -5y = -2x - 2 . Division med -5 ger en ekvation med samma lösningar som den ursprungliga ekvationen:

y = 2x / 5 + 2 / 5 .

Linjens riktningskoefficient är alltså 2/5 och skärningspunkten med y -axeln är ( 0 , 2 / 5 ).

Testövning 2.4 Bestäm riktningskoefficienten för följande linjer och avgör om det finns en punkt med y -koordinat 1 på dem. Ange den i så fall.

a) 3x + 4y = 12 . Svar: k =  , punkten finns   finns inte.
Koordinaterna är   ( , )

b) 2x - 7y = -2. Svar: k =  , punkten finns   finns inte.
punkten är ( , ) .

c) 8y = 13 . Svar: k =  , punkten finns   finns inte.
En fundamental egenskap för två linjer i planet är att precis ett av följande fall inträffar:

1.
de skär varandra inte (d.v.s de är parallella men ej sammanfallande),
2.
de skär varandra i precis en punkt (den så kallade skärningspunkten),
3.
de sammanfaller (d.v.s de är en och samma linje)
Exempel 2.10 Vilket av fallen inträffar för de två linjerna 2x + 3y = -5 och 4x + 6y = 7 ?

Det finns (åtminstonde) två möjliga strategier för att avgöra detta. Välj en!
Med hjälp av riktningskoefficienter.
Med hjälp av ekvationerna direkt.

Linjen 2x + 3y = -5 bestäms också av ekvationen y = -2x/3 - 5 / 3 . Linjen 4x + 6y = 7 bestäms också av linjen y = -4x / 6 + 7 / 6 = -2x / 3 + 7 / 6 . Vi ser att båda linjerna har lutningen -2 / 3 (riktningskoefficient). Den första går genom punkten ( 0 , -5 / 3 ), medan den andra skär y -axeln i punkten ( 0 , 7 / 6 ). Eftersom skär linjerna inte varandra. Vi undersöker om det finns någon punkt ( x , y ) som löser båda ekvationerna. Vi ska alltså lösa ekvationssystemet

Om vi multiplicerar den översta ekvationen med 2 och subtraherar den från den nedersta (så att x försvinner) får vi ekvationen som ju saknar lösning. Det finns alltså ingen punkt som ligger på båda linjerna.

Den andra av dessa båda metoder är att föredra om man inte bara vill svara på frågan om vilket av de tre fallen som inträffar, utan också är intresserad av att bestämma skärningspunkten om det är fall 2 som gäller.

Exempel 2.11 Undersök vilket av de tre fallen som gäller för linjerna 2x - 4y = 5 och 3x + 6y + 1 = 0 . Bestäm skärningspunkten om det är fall 2 som gäller.

Observera att den andra linjens ekvation skrivits så att man har noll i ena ledet. Linjen är den samma som den som bestäms av 3x + 6y = -1 (subtrahera 1 i båda leden).

Även om det inte är nödvändigt, kan vi genast inse att att linjerna har de olika riktningskoefficienter 2 respektive -2 och att de därför kommer att skära varandra i precis en punkt.

Vi söker gemensamma lösningar ( x , y ) till de båda ekvationerna och ska därför lösa ekvationssystemet

Om vi multiplicerar den övre ekvationen med 3 och den nedre med -2 och adderar resultaten kommer vi att få en ekvation som inte innehåller x: som vi kan hyfsa till -24y = 17, d.v.s y = -17 / 24. För att bestämma x kan vi nu t.ex. sätta in y = -17 / 24 i de båda ekvationerna och se att de då har en gemensam lösning x.

Vi kan också använda samma metod som vi använde för att bestämma y: multiplicerar vi den översta ekvationen med 3 och den undre med 2 får vi en ekvation utan y: . Omskrivning ger nu 12x = 13, så att x = 13 / 12 .

Kontroll visar att punkten (13 / 12,-17 / 24) verkligen löser ekvationssystemet. Vi har alltså insett att de båda linjerna skär varandra i precis en punkt, nämligen (13 / 12,-17 / 24).

Exempel 2.12 Avgör hur linjerna 2x - 3y = 5 och 4x - 3y = 7 skär varandra. Om de skär varandra i precis en punkt, bestäm denna.

Hur vill du börja?
Först avgöra vilket av fallen 1-3 som inträffar
Direkt försöka bestämma skärningen mellan linjerna

Om man skriver linjernas ekvationer på formen y = kx + m så bestäms den första linjen av ekvationen y= x + och den andra bestäms av y = x +
Av detta kan man dra slutsatsen att linjerna skär varandra i punkt/punkter. (Svara ingen, flera eller en).
Linjerna skär alltså varandra i precis en punkt. Det gäller nu att bestämma denna. Detta kan göras med hjälp av ekvationssystemet

För att få en ekvation som inte innehåller x kan man multiplicera den övre med och subtrahera den undre. Resultatet blir då y = så att y =
För att få en ekvation som inte innehåller y kan man subtrahera den övre ekvationen från den undre. Resultatet blir då x = så att x = .
Kontrollera nu att den punkt du fått ligger på de båda linjerna! Det gäller att undersöka hur många gemensamma punkter linjerna har. Detta antal kan vara ingen, precis en, eller oändligt många.

De gemensamma punkterna satisfierar ekvationssystemet

och det gäller att lösa detta.
För att få en ekvation som inte innehåller x kan man multiplicera den övre med och subtrahera den undre. Resultatet blir då y = så att y =
För att få en ekvation som inte innehåller y kan man subtrahera den övre ekvationen från den undre. Resultatet blir då x = så att x = . Kontrollera nu att den punkt du fått ligger på de båda linjerna!

Testövning 2.5 Avgör hur följande par av linjer skär varandra och bestäm skärningspunkten i förekommande fall.

a) 7x - 3y = -2 och 3x - 2y = 2. De skär varandra i en punkt.   De sammanfaller.    De är parallella men inte sammanfallande.
b) 91x - 77y = 2 och 13x + 3 = 11y. De skär varandra i en punkt.    De sammanfaller.    De är parallella men inte sammanfallande.
c) 15x - 3y = 3 och 12x + 7y = 40. De skär varandra i en punkt.    De sammanfaller.    De är parallella men inte sammanfallande.

Punkten är ( , )

Punkten är ( , )
Om en linje ges av ekvationen ax + by = c, hur ser då ekvationen ut för en linje som är vinkelrät mot denna?

Frågan är lätt att besvara för linjerna x = c och y = c, d.v.s för linjer parallella med y - axeln respektive x - axeln. En linje vikelrät mot x = c måste vara parallell med x - axeln och har därför en ekvation av formen y = d, där d är någon konstant. En linje vinkelrät mot y = c måste, på samma vis, ha en ekvation av formen x = d, där d är en konstant.

Vi börjar med att fundera på vilken riktningskoefficient en sådan linje måste ha. Vi skriver först den ursprungliga linjens ekvation på formen y = kx + m, genom att dividera ekvationen ax + by = m med b och döpa om konstanterna. (Detta är bara möjligt om men om b = 0 , så är linjen parallel med y - axeln och vi har redan förstått hur ekvationen för en linje som är vinkelräta mot en sådan ser ut.) Fortsätt!
Vi ritar en figur där är linjen med ekvation y = kx + m och är en linje vinkelrät mot denna. Låt P vara linjernas skärningspunkt. Drag en linje parallell med x - axeln genom P och en linje parallell med y - axlen till höger om punkten. I figuren har det nu uppstått en större rätvinklig triangel och två mindre.

Eftersom vinkelsumman i en triangel är 180 grader är lika med 90 grader liksom . Men också är 90 grader eftersom linjerna skär varandra vinkelrätt.

Vi ser alltså att och så att de tre trianglarna i figuren är likformiga och rätvinkliga. Inför nu längderna r, p och q som i figuren. Så som figuren är ritad har riktningskoefficienten k = p / r. (Om vi ritat den med negativ lutning, skulle den varit k = -p / r.)

Linjen har riktningskoefficient -q / r. Men eftersom de små trianglarna är likformiga har vi att q /r = r / p = 1 / k

Vi har kommit fram till:

En linje vinkelrät mot y = kx + m har en ekvation av formen y = -x / k + n, där n är en konstant.

Om vi nu går tillbaka till ekvationen av formen ax + by = c så har linjen riktningskoefficient -a / b (Vi förutssätter att )

En linje vinkelrät mot denna har därför en ekvation av formen y = bx / a + n. Multiplicerar vi nu med a och sätter na = d får vi -bx + ay = d. Detta gäller även om b = 0 !

En linje vinkelrät mot ax + by = c har en ekvation av formen -bx + ay = d där d är en konstant.

Exempel 2.13 Antag att P = ( -1 , 2 ) och Q = ( 2 , -16 ) och R = ( 1 , 1 ). Bestäm en ekvation för linjen genom R som är vinkelrät mot linjen genom Q och R

Hur tycker du man ska börja?
Bestäm först linjen genom P och R
Bestäm först mittpunkten mellan P och Q
Bestäm först linjen genom P och Q

Vi bestämmer först en ekvation y = kx + m för linjen genom P och Q, som vi direkt av deras x - koordinater inser inte är parallell med y - axeln. På så vis får vi reda på att den sökta linjen genom R har en ekvation av formen y = -x / k + n. Har vi väl bestämt k så kan vi utnyttja att denna linje går genom (1,1) för att bestämma n.

Men först alltså linjen genom P och Q. Eftersom y = kx + m ska ha lösningarna P = ( -1 , 2 ) och Q = ( 2 , -16 ) får vi ekvationssystemet

Subtraherar vi den övre ekvationen från den undre får vi k = och därmed ska m = .
Den linje genom ( 1 , 1 ) som vi söker har alltså ekvationen y = x + n.
För att bestämma talet n ska vi utnyttja att
linjen vi söker är vinkelrät mot linjen y = -6x - 4
linjen vi söker går genom ( 1 , 1 )
Insättning av x = 1 och y = 1 i y = x/6+n gör att vi kan bestämma den sökta linjens ekvation till y = x / 6 + .

Testövning 2.6 Avgör om följande par av linjer är vinkelräta mot varandra:

a) Linjerna 2x + 3y = 5 och 6x - 4y = 2. Ja   Nej
b) Linjerna geonom ( 1 , 1 ) och ( 2 , 3 ) respektive ( -1 , 1 ) och ( 0 , -1/2 ) . Ja   Nej
c) Linjen 2x - 3y = 1 och linjen genom ( -1 , 1 ) och ( 2 , 1 / 3 ) . Ja   Nej

Testövning 2.7 Bestäm ekvationen för linjen som går genom punkten

a) ( 1 , 1 ) och är vikelrät mot linjen genom ( 0 , -1 ) och ( 2 , 2 ) . Svar: y = x + .
b) (2,-1) och är vikelrät mot linjen 2x + y = 5 . Svar: y = x + .
c) ( 2 , -1 ) och är vikelrät mot linjen 2y = 5x - 3 . Svar: y = x + .
(Det kortaste) avståndet mellan två punkter P0 = ( x0 , y0 ) och P1 = ( x1 , y1 ) i planet definieras som

Motiveringen till denna definition ges av Pythagoras sats:


Testövning 2.8 Bestäm avståndet mellan punkterna (förenkla om möjligt!)

a) ( 1 , 1 ) och ( -1 , 4 ) . Svar:
b) ( 1 / 2 , 1 / 4 ) och ( -1 / 3 , 1 ) . Svar:
c) ( 1 , 3 ) och ( -1 / 2 , 3 / 2 ) . Svar:

För att beräkna (det kortaste) avståndet mellan en punkt P = ( x0 , y0 ) och en linje ax + by = c kan man igen utnyttja Pythaggoras sats:


Vi ser att vi ska bestämma skärningspunkten Q = ( x1 , y1 ) mellan linjen ax + by = c och linjen vinkelrät mot denna genom P. Avståndet är sedan avståndet mellan punkterna P och Q. En annan punkt R på linjen har ett större avstånd till P, enligt Pythagoras sats.

Exempel 2.14 Bestäm avståndet mellan punkten ( 5 , -4 ) och linjen 3x - 2y = 10.

En linje vinkelrät mot 3x - 2y = 10 har en ekvation av formen 2x + 3y = n. Av dessa linjer går den som har -2=n genom P = ( 5 , -4 ) och den har alltså ekvationen 3x + 2y = -2 .

För att bestämma skärningspunkten Q mellan de två linjerna ska vi lösa ekvationssystemet

Löser vi detta får vi x = och y =
Vi ska alltså bestämma avståndet mellan P = ( 5 , -4 ) och Q = ( 2 , -2 ) . Detta är

Testövning 2.9 Bestäm avståndet mellan

a) punkten ( 1 , 1 ) och linjen 3x + 2y = -8. Svar:
b) punkten ( 8 , -3 ) och linjen genom ( 1 , 14 ) och ( -1 / 4 , 11 ). Svar:
c) punkten ( 0 , 1 ) och linjen genom ( 1 , 4 ) och ( -1 , 2 ) . Svar: