Genom två olika punkter P1 = ( a1, b1, c1) och P2 = ( a2, b2, c2) i rummet går det precis en linje L. En tredje punkt Q = ( x, y, z) ligger på linjen L genom P1 och P2 precis när vektorerna P1Q och v = P1P2 är parallella (eller om P1Q = 0). (Då är Q = P1.)

Det betyder att Q ligger på linjen precis när det finns ett reellt tal t så att

P1Q = tv

Adderar vi vektorn OP1, där O är origo till de båda leden får vi

OQ =  OP1 + tv

Om vi betecknar koordinaterna för v = ( a, b, c) och skriver upp koordinaterna för de båda leden, får vi att Q ligger på linjen Q precis när det finns ett reellt tal t, så att

( x, y, z) = ( a1, b1, c1) + t( a, b, c)

Vektorn v = P1P2 kallas en riktningsvektor för linjen. Ekvationen kallas en parameterframställning av linjen (eller linjens ekvation på parameterform).
 

 
Observera att en parameterframställning av en linje bestäms av att man väljer två olika punkter på den . Eftesom det finns flera möjligheter (oändligt många) att välja två olika punkter på en linje, finns det flera (oändligt många) parameterframställningar av en och samma linje.
 
Det är brukligt att skriva upp parameterframställningen i form av ett ekvationssystem:

x = a1 + ta
y = b1 + tb
z = c1 + tc

Punkten Q = ( x, y, z) ligger alltså på linjen precis när det finns en lösning t till ekvationssystemet.
 
Exempel 2.3.1
 
Bestäm en parameterframställning av linjen L genom punkterna P1 = ( -1, 3, 4) och P2 = ( 4, -2, 1) En riktningsvektor för linjen ges av v = P1P2 = ( 5, -5, -3). Parameterframställningen blir alltså (OBS skriv multiplikation med hjälp av *, alltså 4*t istället för 4t, använd t som parameter):

    x = 
    y = 
    z =  Låt oss se om vi kan bestämma det reella talet a, så att punkten ( 1, 1, a) ligger på linjen L. Det betyder att vi ska söka lösningar a och t till ekvationssystemet

    1 =
    1 =
    a =
Lösningarna ges av
a =  och t = 

 
Testövning 2.3.1
 
a) Avgör om de tre punkterna P1 = ( 4, -2, 3), P2 = ( -3, 1, 0) och P3 = ( 2, -2, 1) ligger på en linje.
 Ja
 Nej
 
b) Undersök om linjen L1 genom punkterna P1 = ( 3, -4, 0) och P2 = ( -4, 2, 3) skär linjen L2 genom punkterna Q1 = ( -6, -3, 5) och Q2 = ( 5, 1, -2)
 Ja
 Nej
Skärningspunktens koordinater är
(  ,   ,   )

c) Avgör om ekvationerna

( x, y, z) = ( 1, 2, 3) + t( -2, 4, 1)
och
( x, y, z) = ( -3, -4, 1) + t( 4, -8, 2)

definierar samma linje i rummet.
 Ja
 Nej
 
Skär de båda linjerna varandra?
 Ja
 Nej
 
 Genom tre olika punkter P1, P2 och P3 i rummet, som inte ligger på en och samma linje, går det precis ett plan.
På samma sätt som en linje bestäms av två olika punkter på den, bestäms ett plan av tre olika punkter i det, med förbehållet att dessa inte får väljas så att de ligger på en och samma linje.
 
När tre punkter i rummmet ligger på en och samma linje, går det oändligt många olika plan genom de tre punkterna.
 
Hur kan man avgöra om en fjärde punkt Q ligger i det plan som bestäms av de tre punkterna P1, P2 och P3 i rummet?
För att svara på frågan är det lämpligt att bestämma någon form av ekvation som satisfieras av de punkter som ligger i planet. Den typ av ekvation för planet som vi ska använda just nu kallas planets ekvation på parameter form.
Vi förutsätter att de tre punkterna P1, P2 och P3 inte ligger på en linje. De två vektorerna

v = P1P2 och u = P1P3

ligger då i planet och är inte parallella. Uppsättningen {v,u} kallas då en uppsättning av riktningsvektorer för planet. En punkt Q ligger nu i planet precis när vektorn P1Q kan uttryckas med hjälp av riktningsvektorerna:
 

P1Q = tv + su,

för några reella tal t och s.
 
Lägger vi till vektorn OP1 får vi en framställning som bättre lämpar sig för koordinatframställning:

OQ = OP1 + tv + su

 
Inför vi nu koordinater enligt Q = ( x, y, z), P1 = ( x1, y1, z1), v = ( a1, b1, c1) och u = ( a2, b2, c2) och identifieras kan planet ekvation på parameterform skrivas som ekvationssystemet:

x = x1 + ta1 + sa2
y = y1 + tb1 + sb2
z = z1 + tc1 + sc2

Punkten ( x, y, z) ligger alltså i planet precis när det finns t och s som löser ekvationssystemet.
 
Exempel 2.3.2
 
Bestäm en parameterframställning för planet genom de tre punkterna ( 3, -1, 3), ( 3, 0, -1) och ( 2, -3, 4). Vi börjar med att bestämma två rikntningsvektorer för planet:

v = ( 3 - 3, 0 - (-1), -1 - 3) = ( 0, 1, -4)
u = ( 2 - 3, -3 - (-1), 4 - 3) = ( -1, -2, 1).

Vi ser, från första koordinaten, att om v = tu, så måste t = 0, men då stämmer inte de övriga koordninaterna. Vektorerna v och u är alltså inte parallella och därmed bestämmer de tre givna punkterna precis ett plan.

Vi kan nu bestämma en parameterframsällning av planet genom ekvationssystemet (OBS skriv multiplikation med hjälp av *, alltså 4*t istället för 4t, använd t och s som parametrar)

    x = 
    y = 
    z =  För att avgöra om t.ex. punkten ( 2, -1, 1) ligger i planet ska vi avgöra om det går att lösa ekvationssystemet:

     2 = 
    -1 = 
     1 = 

Från den första ekvationen får vi . Detta ger sedan i den andra. Dessa värden på t och s löser inte den nedersta ekvationen, så systemet saknar lösning och punkten ligger inte i planet.

Från den första ekvationen får vi s = 1. Detta ger sedan t = 4 i den andra. Dessa värden på t och s löser inte den nedersta ekvationen, så systemet saknar lösning och punkten ligger inte i planet.

 
Eftersom det finns (oändligt) många sätt att välja tre olika punkter, som inte ligger på en och samma linje, i ett givet plan, finns det (oändligt) många olika parameterframställningat av ett och samma plan.
 
Testövning 2.3.2
 
a) Avgör hur många plan som går genom de tre punkterna ( 1, 2, 3), ( 3, -4, 5) och ( 2, -1, 4).
Inget
Oändligt många
Precis ett
b) Avgör hur många plan som går genom de tre punkterna ( 1, 2, 3), ( 3, -4, 5) och ( 3, -1, 4).
Oändligt många
Precis ett
Bestäm nu en ekvation på parameterform för planet! (Använd t och s som parametrar.)
Svar:

    x = 
    y = 
    z =  Avgör nu om punkten ( 0, 2, 3) ligger i planet.
Ja
Nej
 

 
c) Avgör om

x =  1 + 2t +  s
y = -2 + 3t - 2s
z =  1  +  t + 5s.

är en ekvation för ett plan genom de tre punkterna ( 0, 0 -4), ( -1, -5, 0) och ( 2, 3, -3).
Ja
Nej
 
Rätt. Du undersökte att de tre punkterna ligger i det plan som bestäms av ekvationssystemet. Den första punkten fick Du genom att välja t = 0 och s = -1, den andra genom att istället välja t = -1 och s = 0, och den tredje genom att välja t = 1 och s = -1.
 
Hur många plan går det egentligen genom de tre givna punkterna?
Precis ett
Oändligt många
 
 För två plan i rummet gäller att de antingen

  1. sammanfaller,
  2. skär varandra i en linje
    eller
  3. inte skär varandra alls (de är parallella).
Exempel 2.3.3
 
Avgör hur planen med parameterframställningar

x = -3 + 2t - 3s
y =  2 - 3t - 3s
z = 2 + 2t + 4s

respektive

x = 1 + 3t - 2s
y = 4 - 2t + 5s
z = 3 - 2t + 2s

skär varandra.
 
Vi ska finna värden på de ingående parametrarna, så att respektive högerled i de två systemen stämmer överens. Eftersom parametrarna i det första systemet är oberoende av parametrarna i det andra, gäller det nu att hålla isär dem. Vi döper om parametrarna till t1 och s1 respektive t2 och s2 i de båda systemen. Vi ska nu undersöka för hur många värden på dessa som det gäller att

-3 + 2t1 - 3s1 = 1 + 3t2 - 2s2
  2 - 3t1 - 3s1 = 4 - 2t2 + 5s2
 2 + 2t1 + 4s1 = 3 - 2t2 + 2s2.

Vi hyfsar systemet genom att samla konstanter i vänstra ledet och parametrar i det högra:

-4 = -2t1 + 3s1 + 3t2 - 2s2
-2 = -3t1 + 3s1 - 2t2 + 5s2
-1 = -2t1 - 4s1 - 2t2 + 2s2.

Vi försöker nu eliminera paramerern t1 ur de två nedersta ekvationerna. Vi gör detta dels genom att multiplicera ekvation 1 med -3 och addera resutatet till ekvation 2 multiplicerad med 2, dels genom att subtrahera ekvation 1 från ekvation 3. Resultatet blir

-4 = -2t1 + 3s1 +  3t2 -   2s2
 8 =         - 3s1 - 13t2 + 16s2
 3 =         -  7s1 -   5t2 +   4s2.

Vi eliminerar sedan s1 ur den tredje ekvationen med hjälp av den andra. Vi gör det genom att multiplicera den andra ekvationen med -7 och addera resultatet till den tredje ekvationen multiplicerad med 3. Vi får då systemet

 -4 = -2t1 + 3s1 +  3t2 -     2s2
  8 =         - 3s1 - 13t2 +   16s2
-47  =                  76t2  - 100s2.

Vi ser nu att vi kan välja (t.ex.) s2 fulllständigt godtyckligt och sedan bestämma t2, så att den tredje ekvationen gäller. Därefter kan vi bestämma s1, så att den andra ekvationen stämmer. Tillsist kan vi bestämma t 1 med hjälp av den första ekvationen. Detta visar att det finns oändligt många lösníngar till ekvationssystemet; för varje värde på s2 kan vi bestämma en lösning.
 
Två fall kan nu inträffa 1) de båda ekvationssystemen är olika parameterframställningar av samma plan eller 2) de båda planen skär varandra längs en linje. Genom att välja t2 = s2 = 0, får vi punkten ( 1, 4, 3) i det andra planet. Eftersom dessa värden inte duger i det sista ekvationssystemet (den tredje ekvationen), ser vi att punkten ( 1, 4, 3) inte ligger i det första planet.
 
Slutasen blir att de båda planen skär varandra längs en linje.


 
För en linje och ett plan i rummet kan följande fall inträffa
  1. linjen ligger helt i planet,
  2. linjer skär planet i precis en punkt,
  3. linjen skär inte planet alls (linjen och planet är parallella).
Exempel 2.3.4
 
Avgör hur linjen med parameterframstälning

x =  6 - 4t
y = -2 + 2t
z =  4 - 2t

råkar (dvs skär) planet med parameterframställningar

x = -3 + 2t - 3s
y =  2 - 3t - 3s
z =  2 + 2t + 4s

Vi söker igen värden på de ingående parametrarna, så att de högra leden i de båda ekvationssystemen sammanfaller. Eftersom de två parametrarna t är oberoende av varandra byter vi namn på den i det ekvationssystem som beskriver linjen. Vi kallar den för t0.
 
Vi ska undersöka hur många lösningar evationssystemet

  6 - 4t0 = -3 + 2t - 3s
-2 + 2t0 =  2 -  3t - 3s
  4 - 2t0 =  2 + 2t + 4s

har. Vi samlar konstanterna i vänstra ledet och parametrarna i det högra och får ekvationssystemet

 9 =   4t0 + 2t - 3s
-4 = -2t0 -  3t - 3s
 2 =   2t0 + 2t + 4s

Vi eliminerar t0 ur den första och den andra ekvationen genom att multiplicera den nedersta med -2 och addera resultatet till den första respektive genom att addera den nedersta till den mittersta.Vi får då

 5 =          - 2t - 11s
-2 =           - t +    s
 2 =   2t0 + 2t +  4s

Vi eliminerar sedan t ur den första ekvationen med hjälp av den andra. Vi gör det genom att multiplicerar den andra med -2 och addera resultatet till den första. Vi får då som första ekvation 9 = -9s, så vi måste välja s = -9/13. Av den andra ekvationen följer sedan att t = s + 2 = 17/13. Från den tredje ekvationen följer sedan t0 = 14/13.
 
Det betyder att linjen och planet skär varandra i precis en punkt, nämligen (t0 = 14/13 i linjens ekvation): ( 22/13, 2/13, 24/13).
 
Testövning 2.3.3
 
a) Avgör hur planen med parameterframställningarna

x =     + 4t -  5s
y = 1 - 4t +  2s
z = 2 + 2t - 10s

respektive

x = 1 + 3t - 6s
y =  1 - 4t + 2s
z =  1 + 3t - 9s

skär varandra.
De sammanfaller
De skär varandra i en linje
De är parallella

Bestäm en ekvation på parameterform för denna linje. (Använd parametern t.)
 
Svar:
    x = 
    y = 
    z = 
b) Avgör hur planen med parameterframställningar

x =  2 -    t + 2s
y = -3 + 6t + 8s
z =   4 - 6t - 5s

respektive

x =   4 - 2t +  s
y = 12 - 8t - 6s
z = -6 + 5t + 6s

skär varandra.
Svar:
De sammanfaller
De skär varandra i en linje
De är parallella

c) Undersök hur planet

x = 1 -  t + 2s
y = 3 -  t + 3s
z = 2 + 2t -  s

råkar linjen

x = -1 -  t
y =  1 -  t
z =  6 + 2t.

Svar:
Linjen ligger i planet
De skär varandra i en punkt
De är parallella, men råkar inte varandra

Lager 4