Antag att vi har två vektorer u och v, så att (åtminstone) u  0.
 
Det finns då precis en vektor p som uppfyller följande två villkor

1) p är parallell med u
2) v - p är orotogonal mot u

Om p uppfyller villkoren gäller enligt 1) att p = tu, för något reellt tal t.
Tar vi skalärprodukt med u får vi

p·u = t|u|2

Å andra sidan ger 2) att

(v - p)·u = 0
så
p·u = v·u.

Tillsammans ger detta att
    t = v·u
   |u|2
Det betyder att
    p = v·u
   |u|2		 u
så vi ser att det bara kan finnas en vektor p som uppfyller villkoren 1) och 2). Å andra sidan kontrollerar man lätt att denna vektor p verkligen satisfierar 1) och 2). (Gör det!)
 

Vektorn
    p = v·u
   |u|2		 u
kallas den vinkelräta projektionen av vektorn v längs u.

 
Exempel 3.1.1
 
Bestäm den orotgonala projektionen av vektorn ( -1, 2, 2) längs vektorn ( 1, -2, 2).
 
Vi sätter v = ( -1, 2, 2) och u = ( 1, -2, 2) och ska beräkna

p = (v·u / |u|2)u

Vi har

v·u / |u|2 = 
Det betyder att
p =  (  ,   ,   )

 
Exempel 3.1.2
 
Man vet att vektorn v har den vinkelräta projektionen p = ( 1/3, -4/3, 2/3) längs vektorn u = ( -1, 4, -2). Bestäm alla möjliga värden på v.
 
Vi observerar först att p = (-1/3)u, så att uppgiften är meningsfull. (Den vinkelräta projektionen av v längs u ska ju vara parallell med u.)
 
Vi ska alltså bestämma alla vektorer v, så att
    p = v·u
   |u|2		 u
Utnyttjar vi nu att vi känner u och p och tar skalärprodukt med u får vi (och detta är enda villkoret på v)
    p·u = v·u = 
Detta ger att de vektorer v = ( x, y, z) som vi söker är de vars koordinater löser ekvationen

-x + 4y - 2z = -7

Vi har tidigare sett att lösningarna till en sådan ekvation ges av ett plan i rummet. Den geometriska tolkningen av detta är att mängden av de punkter P = ( x, y, z), sådana att vektorn v = OP uppfyller villkoret i uppgiften bildar ett plan i rummet. Geometrisk sett är detta uppenbart.
Bestäm en parameter framställning till detta plan genom att sätt x = t och y = s;

    x = t
    y = s
    z = 

 
Testövning 3.1.1
 
a) Bestäm den ortogonala projektionen p av vektorn v = ( -2, 2, 3) längs vektorn u = ( 1, 2, 3)
    p = (   ,   ,   )

 
b) Om vektorn w = ( x, y) vet man att den ortogonala projektionen längs u = ( 1, 2) och v = ( -3,-2) är ( 1/2, 1) respektive ( 3, 2). Bestäm vektorn w.
Svar:
    w =  (  ,   ) 
c) Antag att de tre vektorerna u, v och w uppfyller följande villkor:

1) w och u har samma ortogonala projektion längs v
2) w och v har samma ortogonala projektion längs u

Visa att w är vinkelrät mot u - v.
 
Hjälp
 
 
Antag att L är en linje och Q är en punkt vilken som helst. Då finns det precis en punkt F så att följande gäller:

1) F ligger på L
2) vektorn FQ är orotgonal mot L

Att en vektor u är ortogonal mot en linje betyder att den är ortogonal mot en riktningsvektor för linjen. (Den är då också ortogonal mot varje riktningsvektor för linjen efter som alla sådana är parallella.) Välj nämligen en punkt P0 på linjen och en riktiningsvektor v för den. Enligt 1) ska vi, för att bestämma F, söka t så att

OF = OP0 + tv

Vi har då, enligt 2, att

FQ = OQ - OF = P0Q - tv

ska vara ortogonal mot v. Skalärprodukt med v ger alltså

0 = P0Q·v - t|v|2

så att t = (P0Q·v) / |v|2. Därmed har vi (entydigt) bestämt t, och därmed F, så att 1) och 2) gäller.
 
Exempel 3.1.3
 
Låt L vara linjen med parameterframställningen ( x, y, z) = ( -3, -3, 8) + t( 2, 2, -4). Bestäm den ortogonala projektionen av punkten Q = ( 2, 2, 1) på linjen L.
 
Vi börjar med att välja en punkt P0 på linjen. Vi väljer den (t.ex.) genom att sätta t = 0 i parameterframställningen: P0 = ( -3, -3, 8). Vi väljer sedan en riktningsvektor v för linje till (t.ex)

v = ( 1, 1, -2)

Låt Pt = ( -3 + 2t, -3 + 2t, 8 - 4t) vara en godtycklig punkt på linjen. Vår uppgift är att bestämma t (och därmed den ortogonala projektionen F = Pt av Q), så att vektorerna v och PtQ = ( 5 - 2t, 5 - 2t, -7 + 4t) är ortogonala.
 
Vi får

    0 = v·PtQ = 
Den sökta punkten F är nu punkten Pt, där vi väljer t = 2, som ju är lösningen till ekvationen ovan. Svaret blir allstå punkten ( 1, 1, 0).
 
Exempel 3.1.4
 
Vísa analytiskt att mängden av de punkter Q i rummet som har den ortogonala projektion ( 5, 1, 10) på linjen ( 1 - 2t, 3 + t, 2 - 4t), utgör ett plan i rummet.
 
Geometriskt är det uppenbart att detta stämmer! Låt oss se om vi kan inse detta analytiskt också. Ett sätt att visa påståendet i exemplet är att skriva upp en parameterframställning av ett plan vars punkter består precis av de Q som uppfyller förutsättningen i exemplet.
För att åstadkomma detta låter vi först Q = ( x, y, z), vara en punkt vilken som helst i rummet. Vi är intresserade av att finna villkor på koordinaterna så att denna punkt har den ortogonala projektionen F = ( 5, 1, 10) på linjen i exemplet.
 
Det betyder att vi ska bestämma x, y och z så att vektorerna

FQ = ( x - 5, y - 1, z  - 10)

och

v ( -2, 1, -4) (riktningsvektor för linjen)

är ortogonala. Detta ger ekvationen

    0 =   x +   y +   z +   
Sätter vi nu (t.ex) x = t och z = s ser vi att de punkter som söks i exemplet är de Q = ( x, y, z)som är av formen

x = t
y = 2t + 4s - 49
z = s

Vi har de två riktningsvektorerna ( 1, 2, 0) (som hör till t) respektive ( 0, 4, 1) (som hör till s), som inte är parallella. Det betyder att detta är en parameterframställning för ett plan i rummet.
 
Testövning 3.1.2
 
a) Bestäm den ortogonala projektionen av punkten Q = (1, -2, 5) på linjen ( 4 + 2t, 5 + t, 4 + t).

Svar:  (   ,   ,   )  b) Om punkten Q vet man att dess ortogonala projektion på linjen ( -2 + 2t, 2t, -2 + t) är ( 0, 2, -1) medan dess ortogonala projektion på linjen ( -1 + 2t, -3 + t, -1 + t) är ( 3, -1, 1). Hur många lösningar har problemet?
Oänligt många
Ändligt många
Inga
 
Vilket är det minsta antal parametrar som krävs för att beskriva samtliga lösningar Q?
En
Två
 
Bestäm Q (använd parametrern s).
Svar: Q = (   ,   ,   ) 
c) Finns det någon linje i rummet så att de tre punkterna ( 1, 2, 3), ( 2, 4, 5) och ( 1, 4, 3) har samma ortogonala projektion på denna linje?
Ja, oändligt många
Ja, precis en
Nej, ingen
 
Vad blir den (gemensamma) ortogonala projektionen om man bland dessa linje väljer den (enda) som går genom origo?
    Q = (   ,   ,   ) 

 
 Vi vill bestämma (det minsta) avståndet mellan en punkt Q = ( x, y, z) och en punkt på linjen linjen med parameterframställning P0 + tv. Vi antar att P0 = ( x0, y0, z0). Vi låter P0Q = u. Avståndet i kvadrat mellan punkten P0 + tv på linjen och punkten Q är då

| tv - u |2 = ( tv - u)·( tv - u) =
   = t2| v |2 - 2tv·u + | u |2.

För att inse vad det minsta värdet som detta uttryck antar (när t varierar) gör vi en kvadratkomplettering och får

(| v |t - v·u / | v |)2 - (v·u / | v |)2 + | u |2.

Enligt Cauchy-Schwartz olikhet är

-(v·u / | v |)2 + | u |2 > 0.

Det betyder att det förra uttrycket antar sitt minsta värde när vi väljer

t = u·v / | v |2.

Den punkt på linjen som ligger närmast punkten Q är alltså

P0 + (u·v / | v |2) v,

dvs den ortogonala projektionen av Q på linje. Avståndet i kvadrat mellan denna punkt och Q är

| u |2 - (v·u / | v |)2

Detta avstånd kallas (det minsta) avståndet mellan punkten Q och linjen P0 + tv.
 

Exempel 3.1.5
 
Bestäm avståndet mellan punkten ( 4, 1, -3) och linjen som går genom de två punkterna ( 5, 4, 2) och ( 8, 5, 3).
 
Även om vi skulle kunna använda formeln ovan direkt gör vi i stället så att vi först bestämmer den orogonala projektionen F av punkten Q = ( 4, 1, -3) på linjen. Sedan ges avståndet mellan punkten Q och linjen av avståndet mellan punkterna Q och F.
En riktningsvektor för linjen ges av v = ( 8 - 5, 5 - 4, 3 - 2) = ( 3, 1, 1). En godtycklig punkt på linjen kan alltså skrivas

( 5, 4, 2) + t( 3, 1, 1).

För att detta ska vara F ska vi bestämma t, så att vektorn

( 4 - 5, 1 - 4, -3 - 2)- t( 3, 1, 1)

är orotgonal mot vektorn ( 3, 1, 1). Detta ger oss ekvationen

0 = ( -1 -3t)·3 + ( -3 - t)·1 + ( -5 - t)·1 = 

som föreklas till 0 = -11t - 11, eller t = -1. Detta ger oss

F = ( 5 - 3, 4 - 1, 2 - 1) = ( 2, 3, 1).

Avståndet mellan Q = ( 4, 1, -3) och F (och därmed mellan Q och linjen) är alltså

(( 4 - 2)2 + ( 1 - 3)2 + ( -3 - 1)2) = 26.


 
Om vi i exemplet i stället använder oss av formeln vi kom fram till ovan, har vi v = ( 3, 1, 1) och u = ( 4 - 5, 1 - 4, -3 - 2) = ( -1, -3, -5) och vi får att avståndet är

( 1 + 9 + 25 - ( -11)2 / ( 11)) =  24 = 26.

Formler är användbara i teoretiska sammanhang men också i praktiken. Nackdelen med formler är att de är svåra att komma ihåg. Det är lättare att komma ihåg en ide´. I vårat fall är det lättare att komma ihåg att avståndet mellan en linje och en punkt är avståndet mellan punkten och dess ortogonala projektion på linjen, än att komma ihåg formeln för hur detta avstånd kan beräknas!
 
Testövning 3.1.3
 
a) Bestäm avståndet mellan punkten ( 1, 2, 3) och linjen med parameterframställningen ( 0, -5, 1) + t( 1, 1, 2)
Svar:

      b) Finns det någon linje, som går genom origo, sådan att avståndet till punkten ( 1, 2, 3) är samma som avståndet till ( 3, 2, 1)?
Ja, oändligt många
Ja, precis en
Nej, ingen
 
c) Finns det någon linje i rummet så att avståndet till punkten ( -2, 0, 3) är 5 medan avståndet till ( 1, 1, 2) är 15?
Ja, oändligt många
Ja, precis en
Nej, ingen