Instruktioner
 
För muspekaren över kompassen till vänster. När Du inte kan komma längre kan Du klicka för att öppna det avsnitt Du pekar på
 

 
Innehåll
 

1. Analytisk geometri i planet
2. Vektorer och koordinater
3. Projektioner och avstånd
4. Areor och volymer
   
5. Matristransformationer

1. Koordinater och avstånd
2. Räta linjer i planet
3. Cirklar och vinklar
4. Trigonometriska funktioner
5. Transformationer
6. Vektorer
7. Vinklar mellan vektorer
8. Tillämpningar

 
I detta avsnitt skall vi beskriva hur man kan representera punkter i ett plan med par av reella tal, dvs med punktens koordinater. Vi skall också diskutera hur man med hjälp av Pythagoras sats kan finna avståndet mellan två punkter.
 
Avsnittets underrubriker är:

• Talaxeln
• Avstånd och absolutbeloppet
• Koordinatssystem i planet
• Avstånd till origo
• Avstånd mellan godtyckliga punkter

 

 

 

 

 
Givet två olika punkter i planet så finns alltid precis en linje (en entydigt bestämd linje) som går igenom dessa punkter. Den kortaste vägen mellan de två punkterna följer ett stycke av denna rät linje. Detta förhållande är en viktig anledning till att man intresserar sig för räta linjer. Varje rät linje kan beskrivas med hjälp av en ekvation av formen
 
Avsnittets underrubriker är:

• Klassificering av linjer
• Linjer med positiv lutning
• Linjer med negativ lutning
• Linjens ekvation på formen ax + by = c
• Skärningspunkt mellan två linjer

 

 

 

 

 
Vi skall här beskriva hur man mäter vinklar och hur man kan beskriva cirklar i planet med hjälp av ekvationer. Vi skall också studera eventuella skärningspunkter mellan cirklar och linjer och kommer i det sammanhanget in på lösning av andragradsekvationer.
 
Avsnittet har följande underrubriker:

• Cirkelns ekvation
• Enhetscirkeln
• Vinklar och vinkelmått
• Skärningspunkter mellan linjer och cirklar
• Tangent till en cirkel
• Andragradsekvationer

 

 

 

 

 
Huvudrubriker:

• Cosinus och sinusfunktionerna
• Tangensfunktionen
• Utvidgning av definitionerna
• Enkla samband
• Additionsformler
• Polär representation

 

 

 

 

 
Ordet transformation betyder omformning, förvandling. Man kan exempelvis tranformera en geometrisk figur genom att flytta den, rotera den kring en punkt, spegla den i en linje, trycka ihop den osv. En transformation kan påverka planets alla punkter eller bara punkterna i en viss delmängd av planet. I matematiska sammanhang har begreppet transformation samma betydelse som avbildning eller funktion. Man vill använda olika ord för samma sak för att därmed antyda nyanser i hur man tänker. Säger man transformation så tänker man på att något förändras. Avbildning är en mera statisk representation av något, ungefär som ett fotografi eller en kartbild. Ordet funktion antyder beroende, orsak och verkan.
 

• Vad är en transformation
• Exempel : Parallellförflyttning
• Sammansättning av parallellförflyttningar
• Generella translationer
• Rotation kring origo
• Speglingar i axlarna

 

 

 

 

 
Vektorbegreppet är mycket viktigt i geometrisammanhang, men det har också viktiga tillämpningar inom fysik till exempel för att analysera krafter. Vi definierar här vektorer med hjälp av translationer och beskriver hur man kan räkna med vektorer. Som en tillämpning diskuterar vi en alternativ beskrivning av räta linjer.
 

Definition av begreppet vektor

Räkning med vektorer

Linjens ekvation i parameterform

Diskussion om valfrihet

 

 

 

 

 

 
I detta avsnitt fortsätter vi att arbeta med vektorer. Först skall vi definiera längden av en vektor och vinkeln mellan två vektorer. Sedan skall diskutera vinkelräta vektorer och det närbesläktade begreppet ortogonala vektorer. Dessa begrepp skall vi sedan använda för att visa hur man finna den så kallade normalen till en linje. Med hjälp av den skall vi återvända till räta linjer och deras ekvationer.
 

• Längd av vektor
• Vinkeln mellan två vektorer
• Ortogonala vektorer
• Olika beskrivningar av en rät linje

 

 

 

 

 
I detta avsnitt ger vi några tillämpningar och utvidgningar av föregående avsnitt. Avsnittets huvudrubriker är:
 

• Ortogonal projektion på en linje
• Avstånd från en punkt till en linje
• Spegling i en linje
• Cosinussatsen
• Sinussatsen, avståndsmätning

1. Koordinatsystem i planet och rummet (introduktion)
2. Vektorer i planet och i rummet
3. Linjer och plan
4. Skalärprodukt
5. Beräkning av vinklar

 
Punkter i det tredimensionella rummet kan beskrivas med tre tal -- punktens koordinater. Mot varje uppsättning av tre tal svarar en punkt. Vi skall här beskriva och exemplifiera hur detta går till. För att förbereda vår framställning av vektorer i nästa avsnitt skall vi också diskutera parallellförflyttningar (translationer) och andra transformationer.
 

• Reella linjen och planet
• Det tredimensionella rummet
• Delmängder av rummet
• Translationer
• Andra transformationer

 

 

 

 

 
Begreppet vektor är mycket viktigt i matematik liksom i många av dess tillämpningar. I fysik använder man exempelvis vektorer för att beskriva krafter. Här ges en rent matematisk beskrivning av vektorer.
 

• Definition av vektor
• Räkning med vektorer
• Exempel på vektorräkning
• Sammanfattande räkneregler
• Standardbaser i planet och i rummet

 

 

 

 

 
Plan och linjer är viktiga delmängder av . Vi kommer att diskutera dem i flera sammanhang längre fram och ge olika beskrivningar av dem. I detta avsnitt beskriver vi både plan och linjer på ett likartat sätt med hjälp av deras ekvationer i parameterform.
 

• Linjers ekvation i parameterform
• Plans ekvation i parameterform
• Exempel

 

 

 

 

 
Ett av de viktigaste redskapen i analytisk geometri är skalärprodukten mellan två vektorer. Skalärpdrodukten är ett tal, inte en vektor, som man kanske kunde vänta sig. Med hjälp av denna produkt definieras en rad geometriska storheter - längd, avstånd, vinklar, projektioner.
 

• Definition av skalärprodukt
• Längd och avstånd
• Räkneregler för skalärprodukt
• Ortogonalitet, Pythagoras sats
• Två viktiga olikheter

 

 

 

 

 
I detta avsnitt skall vi använda skalärprodukten för att definiera vinkeln mellan två vektorer i rummet -- förutsatt att ingen av dem är nollvektorn. Vi tar sedan upp två viktiga satser och några tillämpningar.
 

• Definition av vinkel mellan två vektorer
• Cosinus- och sinussatserna
• Tillämpningar

 

 

 

 

1. Ortogonal projektion på en linje
2. Ortogonal projektion på ett plan
3. Plans ekvation på formen ax+by+cz=d
4. Några viktiga avbildningar
5. Analytisk geometri på en sfär

 
Ordet projektion används i många sammanhang. Ögat fungerar som en lins som projicerar ljus på näthinnan. En ljuskälla kan kasta en skugga på en vägg. Skuggan blir då en projektion av ett föremål. Ortogonal projektion är en speciell slags projektion som spelar en huvudroll i detta kapitel. Vi behandlar först ortogonal projektion på en linje och sedan (i nästa avsnitt) ortogonal projektion i ett plan.

• Ortogonal projektion längs en vektor
• Ortogonal projektion på en linje
• Avstånd från en punkt till en linje

 

 

 

 

 
Vi skall här projicera punkter ortogonalt på ett plan, i stället för på en linje, som i förra sektionen. Med hjälp av ortogonal projektion kan vi bestämma det kortaste avståndet från en punkt till ett plan. Längre fram skall vi bland annat utnyttja detta för bestämma spegling i ett plan.
 

• Normal till ett plan
• Ortogonal projektion på ett plan
• Bevis av två satser

 

 

 

 

 
Hittills har vi beskrivit plan med hjälp av ekvationer i parameterform. Det finns emellertid ett annat och ofta bekvämare sätt att beskriva plan nämligen med hjälp av ekvationer av typen ax+by+cz=d. Vi kallar denna framställning för normalform, eftersom koefficienterna a,b och c är koordinater för en normal till planet.
 

• Plans ekvation i normalform
• Avstånd från en punkt till ett plan
• Olika sidor om ett plan
• Linjer i planet

 

 

 

 

 
Det är viktigt att kunna avbilda tredimensionella föremål på ett plant papper (eller en datorskärm). Man vill alltså avbilda föremål på ett plan. Vi har redan behandlat en sådan avbildning, nämligen ortogonal projektion. Vi skall här diskutera ett par andra avbildningar på ett plan, men vi börjar med att behandla en annan typ av avbildning, nämligen spegling.
 

• Spegling i ett plan
• Tre slags projektioner på ett plan
• Parallellprojektion på ett plan
• Centralprojektion

 
Jordens form är inte perfekt sfärisk. Ekvatorsradien (ca 6378km) är något större än polradien (6356km). Vi skall emellertid låta jorden representeras av en sfär. Vi skall här beskriva hur man anger koordinater och beräknar avstånd och vinklar på ett sfäriskt jordklot.
 
Avsnittet är avsett som en orientering!
 

• Koordinatsystem på en sfär
• Storcirklar och avstånd
• Vinklar
• Sfäriska trianglar

1. Areor av plana områden
2. Egenskaper hos kryssprodukten
3. Volymer och determinanter
4. Mer om volymer och areor(introduktion)

 
I detta kapitel skall vi syssla med begreppen area och volym. Vi börjar med area-begreppet för enkla plana figurer som rektanglar, trianglar och parallellogrammer. Målet är att få fram formler med vars hjälp man lätt kan räkna ut olika areor.
 

• Arean av parallellogrammer och trianglar
• Parallellogrammer i planet
• Egenskaper hos determinanter av ordningen 2
• Parallellogrammer i rummet
• Arean av en cirkelsektor

 

 

 

 

 
I kapitel 3 införde kryssprodukten mellan två vektorer som ett hjälpmedel för att finna en normal till ett plan. I föregående avsnitt fann vi ett samband mellan area och kryssprodukt. I resten av detta kapitel kommer kryssprodukten att användas i flera olika sammanhang, bland annat för att beräkna volymer. (Se nästa avsnitt!)
 

• Geometriska egenskaper
• Räkneregler för kryssprodukten
• Några användningar av kryssprodukten

 

 

 

 

 
Här skall vi använda kryssprodukten för att beräkna volymer och för att införa det viktiga begreppet determinant.
 

• Volymen av en parallellepiped
• Determinanter av ordningen 3
• Några användningar av determinanter
• Mer om volymer och areor(introduktion)

 
Strängt taget går detta avsnitt utanför framställningens ramar eftersom det kräver en viss bekantskap med integralbegreppet. Förhppningsvis skall det ändå vara möjligt att följa framställningen, vars syfte är att beräkna volymen av cylindrar, koner och sfärer samt areoer av sfäriska trianglar. Vi visar att vinkelsumman i en sfärisk triangel är {\em större} än pi. I anslutning till detta skall vi (kortfattat) diskutera astronomisk navigation.
 

• Volymen av en cylinder
• Volymen av en kon
• Volymen av en sfär
• Arean av en sfär
• Arean av en sfärisk triangel
• Astronomisk navigation

1. Matristransformationer i planet
2. Sammansättning och matrismultiplikation
3. Determinanter och inverser
4. Egenskaper hos matrisavbildningar i planet
5. Linjära avbildningar i rummet

 
Det finns massor av olika avbildningar av planet. Matrisavbildningar är bara en av många sorters transformationer, men matrisavbildningar är viktiga av två skäl. Dels fungerar de som enkla prototyper för andra mer komplicerade avbildningar, dels kan man studera dem med någorlunda enkla medel.
 

• Några exempel på tranformationer
• Vad är en matristransformation?
• Sammansättning av matrisavbildningar med translationer

 

 

 

 

 
Genom att sätta samman enkla avbildningar kan man konstruera mer komplicerade transformationer. Vi skall här se att sammansättningen av två matrisavbildningar är en ny matrisavbildning. Ett antal exempel visar hur detta kan utnyttjas för att studera vad som händer om man utför flera transformationer efter varandra.
 

• Sammansättning av matrisavbildningar
• Matrismultiplikation

 

 

 

 

 
Vi har redan tidigare stött på determinantbegreppet i samband med beräkning av areor och volymer. Här skall vi använda determinanter för att beskriva inversa matrisavbildningar.
 

• Determinantbegreppet
• Determinanten av en produkt
• Begreppet invers transformation
• Parallellogrammer i rummet
• Bevis av två satser

 

 

 

 

 
Vilka geometriska egenskaper har matrisavbildningar? Alltså: hur påverkar en matrisavbildning olika geometriska storheter som till exempel linjer, trianglar, avstånd, vinklar osv. Är bilden av en parallellogram alltid en parallellogram? Kommer längden av en vektor att vara densamma som längden dess bild? I denna sektions skall vi försöka besvara denna typ av frågor!
 

• Egenskaper hos alla matrisavbildningar
• Egenskaper hos inverterbara matrisavbildningar
• Isometrier
• Konforma avbildningar
• Avbildningar som bevarar areor

 

 

 

 

 
Linjära avbildningar i rummet kan beskrivas med hjälp av matriser ungefär som i planet. Vi ger här några exempel men avstår från att ge en lika systematisk behandling som vi gett av linjära avbildningar i planet. (En mera systematisk behandling av linjära avbildningar i rummet skulle kräva fördjupade kunskaper i matrisalgebra.)
 

• Definitioner och exempel
• Isometrier och konforma avbildningar
• Fler exempel

 

 

 

 

1. Sats och bevis
2. Absolutbelopp och kvadratrötter
3. Linjer i planet
4. Cirklar i planet
5. Vinklar och trigonometriska funktioner
6. Transforamtioner av planet
7. Vektorer
8. Vinklar mellan vektorer
9. Tillämpningar

 
I den här lektionen får du bekanta dig med vad som menas med en sats i matematik. En sats brukar bestå av ett antal förutsättningar och en slutledning som gäller om dessa förutsättningar är uppfylda.
 
Du får också bekanta dig med vad ett bevis är för något och en chans att förstå varför de är nödvändiga.
 
Du får se ett bevis för Pythagoras sats och tillfälle, att med hjälp, göra några egna bevis.

 
Den här lektionen handlar i första hand om avstånd mellan punkter på reella tallinjen. Du får också öva Dig i att hantera kvadratrötter. Båda begreppen är av avgörande vikt i fortsättningen av kursen.
 
Lektionen innehåller 2 avsnitt med följande rubriker:

1. Abslolutbelopp
2. Kvadratrötter

Avsnitten är av introducerande karaktär och Du förväntas vara bekant med dessa begrepp sedan tidigare.

 
Den här lektionen handlar i första hand om avstånd mellan punkter i planet och linjer i planet. Du får öva Dig i att skriva upp en ekvation för en linje.

Lektionen innehåller 6 avsnitt med följande rubriker:

1. När ligger tre punkter på en linje?
2. Skärningspunkt mellan linjer i planet
3. Vinkelräta linjer
4. Avstånd mellan punkter samt mellan punkt och linje

 
Den här lektionen handlar om cirklar i planet och deras ekvationer. Du får öva Dig i att ta reda på ekvationen för en cirkel med given medelpunkt och radie, men också att bestämma cirkelns radie och medelpunkt med hjälp av cirkelns ekvation. Lektionen innehåller tre avsnitt med följande rubriker:

1. Cirkelns ekvation
2. Skärning mellan linjer och cirklar
3. Hur cirkeln bestäms av tre av dess punkter

 
Den här lektionen handlar om vinklar och deras mått samt de trigonometriska funktionerna cosinus och sinus. Du får öva Dig i att känna igen så kallade "kända" vinklar och cosinus och sinus för deras mått. Lektionen innehåller två avsnitt med följande rubriker:

1. Vinklar och deras mått.
2. Funktionerna cosinus och sinus.

 
Den här lektionen handlar om transformationer av planet, d.v.s om regler som till varje punkt i planet ordnar en (ny) punkt i planet. Du får öva Dig i att skriva upp formler för tre vanliga transformationer: translationer, speglingar och rotationer. Lektionen innehåller tre avsnitt med följande rubriker:

1. Translationer.
2. Speglingar.
3. Rotationer.

 
I den här lektionen får Du bekanta Dig med räkning med vektorer. Du får öva Dig i att addera och subtrahera vektorer samt att multiplicera dem med reella tal.

Lektionen innehåller också en genomgång av parameterframställning av linjer och den fysikaliska tolkningen av detta. Lektionen innehåller tre avsnitt med följande rubriker:

1. Vektorer.
2. Räkning med vektorer.
3. Parameterframställning av linjer.

 
Lektionen består av två avsnitt

• Vinkeln mellan vektorer
• Linjens ekvation på normalform

I det första avsnittet får Du lära Dig om vinklar mellan vektorer och hur man väljer ut en speciell vinkel (ett speciellt mätetal för vinkeln).
 
När ett rätvinkligt koordinatsystem införts i planet kan vektorer ges koordinater och Du får se hur man kan beräkna vinkeln mellan två vektorer med hjälp av deras koordinater.
 
Speciellt intressant är det att avgöra när två vektoerer är vinkelräta (ortogonala) mot varandra.
 
I det andra avsnittet används idéerna om ortogonalitet för att ge ett nytt synsätt på en linjes ekvation på parameterfri form.

 
Lektionen är uppdelad i tre avsnitt med titlarna:

1. Ortogonal projektion
2. Spegling
3. Cosinus- och sinussatsen

I det fösta avsnittet får Du lära Dig att bestämma vilken punkt på en linje som man hamnar i om man går vinkelrätt in mot linjen från en given punkt.
 
I det andra avsnittet får Du bekanta Dig med hur man bestämmer spegelbilden till en given punkt i en linje.
 
Det tredje och avslutande avsnittet handlar om hur man med hjälp av de så kallade sinus- och cosinussatserna kan bestämma sidor och vinklar i en triangel när bara några av dem är kända.

1. Koordinater och translationer i rummet
2. Vektorer i rummet
3. Ekvationer för linjer och plan i rummet
4. Skalärprodukt
5. Vinkeln mellan vektorer

 
den här lektionen introduceras koordinater för punkter i ett rätvinkligt koordinatsystem i rummet.
 
Begreppet transformation av rummet illustreras med så kallade translationer ellet parallellförflyttningar.
 
En sådan transformation bestäms av vad den går på en punkt och leder till begreppet vektor, som gås igenom mer grundligt i kommande avsnitt.

 
I den här lektionen får Du bekanta dig med vektorer och hur man räknar med dem. Du får också se en tillämpning där vektorer och vektorräkning används för att lösa ett problem som egentligen inte har något med vektorer att göra.

 
I detta avsnitt får Du bekanta dig med ekvationer för linjer och plan. Den typ av ekvationer som tas upp här kallas ekvationer på parameterform, eftersom ekvationerna innehåller parametrar t och s, så att ekvationerna ger samtliga punkter i planet respektive på linjen när parametrarna varierar.
I avsnittet ingår också en del exempel på hur plan och linjer skär andra plan och linjer.

 
Det här avsnittet handlar om skalärprodukt mellan vektorer. Skalärprodukten av två vektorer är ett tal. Med hjälp av detta tal kan man bl.a. avslöja om två vektorer är vinkelräta mot varandra eller ej. Skalärprodukten är också mycket viktig i en rad andra sammanhang, som t.ex. vid ortogonal projektion.
 
Med hjälp av skalärprodukten definieras längden av en vektor. Med hjälp av längdbegreppet definieras sedan avståndet mellan två punkter.

 
Detta avsnitt handlar om vinkeln mellan två vektorer. Det finns två vägar att införa detta begrepp. Dels en analytisk som bestämmer vinkeln uttryckt i vektorernas koordinater, dels en geometrisk som hänvisar till en konstruktion i rummet.
I den här kursen väljer vi den analytiska vägen, men en motivering ges sedan för att denna ger samma resultat som den geometriska vägen.
 
Vinkelbegreppet används för att titta lite på dubbel- och enkelkoner.
 
Avsnittet innhåller också en framställning av sinus- och cosinussatserna, samt några (inte helt lätta) uppgifter i samband med denna.

1. Ortogonal projektion
2. Ortogonal projektion på plan
3. Normaler till plan
4. Transformationer i rummet

 
I denna lektion får Du lära Dig att genomföra ortogonal projektion av en vektor längs en annan. Nära besläktat är ortogonal projektion av en punkt på en linje. Lektionen avslutas med ett avsnitt som visar att den ortogonala projektionen av en punkt på en linje ger den punkt på linjen som ligger närmast den givna punkten.

 
Detta avsnitt handlar om när en vektor är en normal till ett givet plan. Det visar sig (föga överaskande) att man till varje plan kan bestämma en normal och att de vektorer som fungerar som normaler till detta plan är precis de som är parallella med en (given) normal.
 
Med hjälp av den så kallade kryssprodukten av två vektorer kan man med utgångspunkt från två icke-parallella riktningsvektorer för ett plan bestämma en normal till det.
 
Givet en punkt Q och ett plan finns det precis en punkt F i planet som ligger närmast Q. Denna punkt kallas den ortogonala projektionen av Q på planet och vi tittar på några tekniker att bestämma den.

 
I detta avsnitt introduceras normaler för plan i rummet. Du får se hur man, en aning komplicerat, kan bestämma en normal till ett plan.
Med hjälp av begreppet normal kan man se att lösningarna till en ekvation av formen
 
     ax + by + cz = d
 
utgör ett plan i rummet med normal ( a, b, c).
Med hjälp av denna ekvation för ett plan kan man lätt beräkna avståndet mellan en punkt och ett plan. Man kan också avgöra om två punkter ligger på samma sida eller motsatta sidor om ett givet plan.
 
Tillsist introduceras liknande begrepp för linjer i planet.

 
Detta avsnitt handlar om tre olika transfromationer i rummet. Den första är spegling i ett plan, den andra parallellprojektion i ett plan och den sista är centralprojektion i ett plan.
 
Centralprojektionen utnyttjades av renässansens målare för att ge deras målningar korrekta perspektiv. Speciellt för denna transformation är att den inte är definierad för alla punkter i rummet. Man måste undanta punkter som ligger i ett speciellt plan.

1. Areor och determinanter
2. Kryssprodukten
3. Determinanter av ordning 3
4. Volymer och areor

 
I detta avsnitt får Du lära Dig att beräkna och utnyttja arean av parallellogrammer och trianglar i så väl planet som rummet.
 
Räkningarna underlättas genom att begreppet determinant införs. Med hjälp av detta omformuleras också kryssprodukten för två vektorer i rummet. Längden av kryssprodukten får nu en geometrisk innebörd.
 
Avslutningsvis behandlas arean av cirkelsektorer och koner.

 
Den här lektionen är en omfattande genomgång av kryssprodukten. Du får bekanta Dig med en rad egenskaper som den har och vilka räkneregler som gäller. Till sist används kryssprodukten för att lösa en del geometriska problem. En del av dessa har Du redan studerat, men de kommer nu samlade för översiktens skull. Till nyheterna hör att Du får se hur man kan bestämma en ekvation för en cylinder i rummet.

 
I den här lektionen introduceras tre-gånger-tre--determinanter. Du får se en rad räkneregeler för dessa determinanter. Dessbättre är räknereglerna samma som för  22-determinanter.
 
Du får se hur kryssprodukt och determinanter kan användas för att beräkna volymer av så kallade parallellepipeder.

 
I detta avsnitt utnyttjas skivformeln för att beräkna volymen av klot, cylindrar och koner. Skivformeln bygger på integralbegreppet, men det blir inte fråga om någon svårare excersis i integration.
 
Med hjälp av integraler beräknas sedan arean av en sfär och visa delar av sfären. Du får se hur man definierar trianglar på sfären, så kallade sfäriska trianglar, och hur vinklarna i en sådan triangel tillsammans med sfärens radie bestämmer triangelns area. Du kommer då att inse att vinkelsumman i en sfärisk triangel alltid är större än 180°!

 
Under utveckling

 
Under utveckling

 
Under utveckling

 
Under utveckling

 
Under utveckling