Left_1.3

En cirkel bestäms av sin medelpunkt (eller centrum) och sin radie. Cirkeln består av alla punkter vars avstånd till medelpunkten är lika med dess radie. Låt cirkelns medelpunkt vara och radien vara . Avståndet från en punkt på cirkeln till medelpunkten är då

Kvadrerar vi detta samband får vi

Detta kallar vi ekvationen för cirkeln med centrum i

och radien

. Ekvationen beskriver alla punkter som ligger på cirkeln, genom att ge ett villkor som punkternas koordinater måste uppfylla. Med hjälp av cirkelns ekvation kan man avgöra om en given punkt ligger på en cirkel med given medelpunkt och given radie.
Exempel A
Exempel B

Exempel C

Exempel D
Exempel C
Se på ekvationen

Detta är ekvationen för en cirkel med centrum i origo!
Vilken är cirkelns radie? Tips för inmatning av tal
Exempel D
Betrakta ekvationen

Detta är en ekvation för en cirkel. Vilken?
Visa lösningen

Ett viktigt specialfall är cirklar med centrum i origo. Då är dvs och . Ekvationen (1) får då formen . Om har vi den så kallade enhetscirkeln vars ekvation alltså är

Enhetscirkeln är således cirkeln med centrum i origo och radien

Exempel E
Figuren visar enhetscirkeln! De utmärkta åtta punkterna är skärningspunkterna mellan enhetscirkeln och koordinataxlarna och de båda linjerna och . Vilka är koordinaterna för de åtta punkterna?

Visa

Låt beteckna origo och låt och vara två punkter på enhetscirkeln. Linjestyckena (sträckorna) och bildar då en vinkel. I figuren har vi valt . man kan tänka sig att sträckan är visaren på en klocka, men i matematiska sammanhang brukar man vanligen låta klockan gå åt fel håll jämfört med våra vanliga klockor med visare.

Det finns många sätt att mäta vinklar. Alla går i princip ut på att man tilldelar hela varvet ett visst mått. Som mått på en vinkel anger man antalet delar av hela varvet som vinkeln upptar. Ett vanligt mått är gradmåttet. Man delar då upp hela varvet i grader. Beteckningen för gradmåttet är . Ett helt varv upptar alltså . Gradmåttet av en vinkel är antalet grader eller delar av grader som vinkeln upptar.

I matematik är det vanligaste vinkelmåttet radianer. Här tilldelar man hela varvet måttet , vilket är längden av enhetscirkeln, alltså dess omkrets. Mätetalet för en vinkel blir då lika med längden av cirkelbågen från till . (Kom ihåg att och är punkter på enhetscirkeln.) Vi kommer inte att använda någon speciell beteckning för vinkelmått i radianer.

Exempel F

Samband mellan grader och radianer

Sambandet mellan vinkelmått i radianer och i grader är enkelt. Eftersom gradmåttet anger hur många delar av som vinkeln upptar får man

Detta är detsamma som att

För exempel på omvandlingar mellan grader och radianer klicka här

En given linje kan skära en given cirkel i en eller högst två punkter. Eventuellt kan skärningspunkt saknas.

Exempel G
Vi skall undersöka skärningspunkterna mellan enhetscirkeln och linjen . Eventuella skärningspunkter måste uppfylla både cirkelns och linjens ekvation, dvs och måste lösa ekvationssystemet

Visa lösningen

Exempel H

Definition

Låt vara en cirkel. En linje kallas en tangent till cirkeln om linjen och cirkeln har precis en skärningspunkt (precis en gemensam punkt).

Figuren beskriver en cirkel och de två tangenter som kan dras från en punkt utanför cirkeln.

Exempel I

Exempel J

Vi har ovan gått igenom några exempel där vi sökt eventuella skärningspunkter mellan en cirkel och en linje. Detta har lett till ekvationer av typen

Detta är ett exempel på en andragradsekvation. Det finns tre fall

Problemet att finna eventuella skärningspunkter mellan en cirkel och en linje leder ibland till mer komplicerade andragradsekvationer, nämligen ekvationer av typen