Detta avsnitt handlar om de tre trigonometriska funktionerna
cos, sin, tan .
 

 

    
    >>>


Koordinaterna och för punkten måste vara bero på . De måste med andra ord vara funktioner av . Dessa funktioner är de två trigonometriska grundfunktionerna cosinus och sinus. Vi skriver

Eftersom är en punkt på enhetscirkeln så gäller . Ofta skriver man i stället för och motsvarande för sinusfunktionen. Vi har alltså

Formeln brukar kallas ``den trigonometriska ettan''. Exempel A

(a) Om är . Alltså gäller


Exempel A

(b) Om är . Alltså gäller

Exempel A

(c) Om är . Alltså gäller

Exempel A

(d) Vinkeln i en liksidig triangel är .




I figuren är . Detta visar att om är . Alltså gäller

Exempel B
Varje reell tal mellan och är cosinus för någon vinkel.




Av figuren ser man att man kan välja i intervallet .

Mata in en vinkel x i radianer  
        

Mata in cos(x)
 radianer  =   grader 
 

Mata in sin(x)
 radianer  =   grader 
 

Talet skrivs här pi.
Kvadratroten ur ett tal x skrivs sqrt(x)
De elementära räknesätten skrivs + - * /
Man måste skriva ut gångertecknet *
Exempel C
Tänk efter varför följande formler gäller:

Däremot är tangensfunktionen inte definierad för , eftersom . Exempel D

Mata in en vinkel x i radianer  

        

 

Mata in tan(x)
 radianer  =   grader 




I figuren är och . Eftersom och har samma -koordinat följer det att . Å andra sidan har punkternas - koordinater olika tecken, vilket ger .

Exempel E (a)


 Exempel E (b)


 Exempel E (c)





Exempel F




Exempel G



Exempel H
Med hjälp av additionsformeln för cosinusfunktionen kan man beräkna om man känner . Vi har nämligen att

Med hjälp av den trigonometriska ettan kan vi ersätta den sista termen med och får då att

Man kan naturligtvis också vända på steken och beräkna (eller snarare ) med denna formel. Man får som synes att

Tänk efter hur motsvarande formel för sinusfunktionen ser ut!

Visa!

Exempel I
Med hjälp av additionsformeln för sinus fär vi att





Exempel
Sätt . Då är . Eftersom

har punkten den polära framställningen

Exempel J : Lösning
Vi kan tänka oss att triangelns hörn vid vinkeln ligger i origo och att motsvarande kateter fallar utmed -axeln. Det andra hörnet som står mot den räta vinkeln har då koordinaterna , där och är katetrarnas längder. Eftersom avståndet till origo är längden av hypotenusan (alltså ) så får vi att


Exempel K
Om den vinkel som står mot den kortare katetern är så gäller

Dessutom har vi att . Nu är inte 2/3 tangens för en vinkel som vi redan har beräknat. I detta läge får man ta till en kalkylator

Med hjälp av en kalkylator får man att

vilket är detsamma som 33.690067525979785 grader.
En enkel manual till räknedosan finns här  
 
Du kan mata in siffror och symboler genom att klicka på knapparna eller genom att klicka på räknedosans översta avlånga fönster och skriva in symboler från tangentbordet. Resultatet visas i det undre avlånga fönstret.
Knappen Rensa tömmer båda fönstren.
Knappen = gör att beräkningen utförs
Knappen x= gör att det beräknade värdet sparas med symbolen x
Knappen x tar fram värdet på x
Knappen y= gör att det beräknade värdet sparas med symbolen y
Knappen y tar fram värdet på y
Knappen asin: asin(t) ger den vinkeln mellan -pi/2 och pi/2 vars sinus är t
Knappen acos: acos(t) ger den vinkeln mellan 0 och pi vars cosinus är t
Knappen atan: atan(t) ger den vinkeln mellan -pi/2 och pi/2 vars tangens är t
Övriga knappar är förhoppningsvis självinstruerande!
Om du får texten "undefined" har du förmodligen försökt mata in något i det undre fönstret--det är bara avsett för att visa resultat.
Om allt försvinner har du antagligen tryck på knappen Rensa i stället för =
Om du får texten "Formelfel!" så har du gjort något galet i inmatningen--exempelvis glömt * eller parenteser.
Om inget händer eller det står javascript error i nedersta raden i kalkylatorns fönster har du hittat ett programfel. Känn dig stolt!