En translation kan beskrivas med hjälp av pilar. Om translationen flyttar punkten till punkten kan vi markera det med en pil från till . En translation kan beskrivas med hjälp av en pil. Om translationen flyttar till punkten kan vi markera detta med en pil från origo till den givna punkten. Translationen kommer sedan att flytta punkten till punkten .
Vektor är ett annat ord för translation, men när vi använder ordet vektor tänker vi mer på hur enskilda punkter parallellförflyttas. När vi talar om translation tänker vi däremot på hur alla planets punkter transformeras. Vi beskriver gärna vektorer med pilar. Om är en vektor skriver vi
för att ange att skall translateras till punkten . Vi skriver då

Samma vektor kan emellertid lika gärna beskrivas med hjälp av en annan pil. Samma translation (vektor) definieras ju också av att punkten förflyttas till punkten . Vi uttrycker detta genom att skriva

Exempel A
Sats
Om och så är .
Visa beviset

Exempel B
 
Exempel B
Antag att och . Bestäm .Svar:

( ,   )

 
Om och är två vektorer så definierar vi deras summa genom att sätta

Man bör här jämföra med sammansättning av translationer.

Vi definierar också multiplikation mellan ett tal och en vektor på följande sätt. Låt vara en vektor och ett tal. Vi definierar då genom att sätta


Slutligen definierar vi subtraktion mellan vektorer på följande sätt. Om och så sätter vi


Exempel C
 
Exempel D

Exempel D Börja med att rita ut punkterna (1,4) och (3,-2) i ett rätvinkligt koordinatsystem. Rita sedan ut mittpunkten på sträckan mellan dessa punkter. Vilka koordinater har mittpunkten?
Hur tror du att man kan bestämma mittpunktens koordinater genom att bara räkna med koodinater?

Visa ett tips

Vi har tidigare beskrivit linjer med hjälp av ekvationer av formen . Det finns en annan naturlig beskrivning av linjer. Man tänker sig linjen (eller ett stycke av linjen) som bana för en partikel som passerar en viss punkt vid ett visst ögonblick och rusar i väg med en viss hastighet . Hastigheten är här en vektor som anger både i vilken riktning partikeln far och hur fort den rör sig. En punkt på linjen kan då beskrivas genom att man talar om vid vilken tidpunkt som punkten passeras. Låt oss säga att den fixa punkten passeras vid tiden . Om är en godtycklig punkt på linjen som passeras vi tidpunkten , så gäller

Detta kallas linjens ekvation i parameterform.    

Man kan skriva ut vad den inramade ekvationen innebär för koordinaterna för . Om , och så är

Höger led är därför

Därför kan linjens ekvation i parameterform skrivas som

Här måste vi naturligtvis anta att åtminstone ett av talen eller är skiljt från noll ( eller ).

Exempel E    Exempel F
 
Exempel G    Exempel H  
 
Exempel G En linje har ekvationen . Beskriv denna linje i parameterform.
Ledning: Två saker behövs, nämligen

Tänk efter hur man skall en punkt på linjen och sedan en riktningsvektor! Visa!

 
Exempel H Bestäm en punkt på linjen .
Bestäm sedan en riktningsvektor!
När du har kommit fram till ett svar klicka här

När man beskriver en linje i parameterform har man stor valfrihet. Man kan för det första välja vilken punkt som helst på linjen. Om linjens ekvation är så kan vi ta punkten lika väl som . Vi skriver då om linjens ekvation som . Sätter vi nu får vi parameterekvationen

Detta är alltså en annan parameterframställning av samma linje. I denna har inte samma betydelse i de båda ekvationerna. (Med andra ord: det är inte samma .)

Valfriheten när det gäller att beskriva en linje i parameterform gäller inte bara val av punkt på linjen. Det gäller också (i någon mån) valet av riktningsvektor. Vi kan modifiera riktningsvektorn genom att multiplicera med en konstant . Vi kan till exemepl beskriva samma linje genom att som riktningsvektor välja och får då parameterframställningen


 
Exempel I