Mängden av alla reella tal brukar betecknas med . Varje element i (varje reellt tal) kan representeras av en punkt på en horisontell talaxel. Den punkt som representerar talet kallas origo. De positiva heltalen representeras av punkter som ligger på lika avstånd från varandra till höger om origo, medan de negativa hela talen på liknande sätt representeras av punkter till vänster om origo.

 

Mängden består av alla par där och är reella tal, vilka som helst. Paren i svarar mot punkter i ett rätvinkligt koordinatsystem. Man har man två talaxlar som skär varandra under rät vinkel i en punkt, nämligen talaxlarnas origo. Punkterna på den vågräta axeln (-axeln) svarar mot par av formen . Punkterna på den lodräta axeln (-axeln) svarar mot par av formen . Om man genom punkterna och drar linjer parallella med koordinataxlarna får man en skärningspunkt som får representera paret .     
 
Exempel A
 
Mängden består av alla taltripplar där , och är reella tal, vilka som helst. Man tar alltså tre reella tal i en bestämd ordning: först , sedan och som tredje tal . Vi låter tripplarna i svara mot punkter i rummet med hjälp av ett rätvinkligt koordinatsystem med tre koordinataxlar, en -axel, en -axel och en -axel. Vi visar i en figur hur det går till.

 

 Längre fram skall vi behandla linjer, plan och andra delmängder i rummet . Vi ger redan här några enkla exempel på sådana delmängder av .

Exempel B
Detta exempel handlar om de tre s.k. koordinatplanen i rummet. Vi börjar med -planet, det vill säga det plan som innehåller -axeln och -axeln. Detta plan består av alla punkter där tredje-koordinaten är .Man kan alltså beskriva -planet med hjälp av ekvationen .
Det finns ytterligare två koordinatplan, nämligen -planet, som beskrivs av ekvationen , och -planet, vars ekvation är .
Kommentar Av bildmässiga och praktiska skäl ritas planen begränsade som om de vore begränsade glasskivor, trots att de naturligtvis har obegränsad utsträckning.
Exempel C
Exempel D
Exempel E
Koordinatplanen delar upp rummet i olika områden. Tag till exempel  xy-planet. Detta plan delar upp rummet i en del där
 z > 0
och en del där
 z < 0.

På liknande sätt delar  xz-planet upp rummet i en del där
 y > 0
och en del där
 y < 0.

Tänker man efter ser man att de tre koordinatplanen tillsammans delar upp rummet i åtta delar (sk oktanter ).
Den första oktanten består av alla punkter  (x, y, z) där  x> 0,  y > 0 och  z > 0.

 
Translation betyder parallellförflyttning. Man tänker sig att man förflyttar alla punkter i planet eller i rummet en viss sträcka i en viss riktning. Enklast är att beskriva translationer längs koordinataxlarna.
Låt oss börja med att se på parallellförflyttningar längs -axeln i planet . Det räcker att beskriva hur punkten skall påverkas av parallellförflyttningen. Om skall translateras till punkten skriver vi

Punkten skall då förflyttas lika långt och i samma riktning, dvs till punkten , vilket vi uttrycker genom att skriva

 
Läs om translationer längs andra axlar
Exempel F
Exempel G

Sammansättning av translationer
Man kan bilda nya translationer genom sammansättning av andra translationer vilket innebär att man utför flera translationer efter varandra.
Läs först om denna viktiga operation

Exempel H

Exempel H (a)
En translation förflyttar origo till punkten (1,2,3). En annan translation flyttar origo till (2,5,-3). Vart flyttas då origo av den sammansatta translationen? Mata in koordinaterna:
(  ,   , )
   
 
Exempel H (b)
En translation förflyttar origo till punkten (1,2,3). En annan translation flyttar origo till (2,5,-3). Vart flyttas då (3,-4,2) av den sammansatta translationen? Mata in koordinaterna:
(  ,   , )
   
 
 
  
Translation (parallellförflyttning) är ett exempel på en transformation.

Definition 2
En transformation från en mängd är en regel som till varje element i mängden ordnar ett bestämt i mängden . Man kallar då för bilden av och mängden kallas transformationens definitionsmängd.
För att uttrycka att är bilden av skriver man ofta

Vi kan också skriva eller (om är underförstått) bara .

I stället för ordet transformation kan vi använda ord som avbildning eller funktion.

Sammansättningen av två transformationer innebär att man utför transformationerna efter varandra. Mer precist definieras sammansättning i följande definition.

Definition 3
Om och är två transformationer av mängden , så är den sammansatta transformationen den avbildning som till ordnar . Innebörden är att man först transformerar med hjälp av och får . Därefter transformeras med hjälp av , vilket ger bilden .

Vi ger två exempel.
Exempel I
Exempel J