Exempel D
Sätt  u =(3,7,12) och  v=(2,-5,6) . Bestäm
 u+2 v= (  ,   , )
   
 
 3 u -v= (  ,   , )
   
 

Sats 1
Låt vara en vektor given av att , där och . Då är

Exempel
Bevis av sats 1


Bevis av sats 1
Antag att . Det gäller att visa att , och .
Eftersom kommer att translateras till Alltså måste


Men detta ger just att , och . Beviset är klart!
I resonemanget ovan har vi arbetat i rummet . Motsvarande resultat i planet får man genom att bortse från tredjekoordinaterna. Exempel
I figuren visas en vektor i planet och två punkter och . Vi söker koordinaterna för om




Vi får . Eftersom drar vi slutsatsen att .

  

  

 Exempel B
Vektorerna och är parallella, eftersom .
Däremot är och inte parallella!
Tänk efter! Att ${\mathbf w}=t{\mathbf u}$ skulle betyda

(2,3,4)=t(1,2,3),

alltså att

(2,3,4)=(t,2t,3t).

Men det skulle ge de motstridiga likheterna t=2, 2t=3, 3t=4.

Observera att varje vektor är parallell med nollvektorn!
För varje vektor  u gäller ju att .

 Exempel C
Låt A, B och C vara hörn i en rymdtriangel, där

Sätt

och beräkna och .
Lösning:
Sats 1 ger att

Sedan följer

Anmärkning
Vi har beskrivit addition, subtraktion och multiplikation med tal i . Motsvarande definitioner i planet får man genom att bortse från tredje-koordinaterna. Om alltså och så är exempelvis . Nollvektorn i planet är . På samma sätt blir
Exempel E
Vi skall visa hur man finner mittpunkten på en sträcka med vektorräkning. Låt och vara två givna punkter (i eller i ). Vi söker mittpunkten på sträckan . Eftersom mittpunkten ligger halvvägs mellan och , så har vi att





Men

Alltså är
Om exemeplvis och så är mittpunkten

Exempel F
I föregående exempel utgick vi från origo , när vi sökte mittpunkten på en sträcka . Man kan lika gärna utgå från en annan punkt . Om man nämligen får tag ivektorn så kan man finna vektorn med formeln


Med samma tanke som i exempel E ser man att





Men

Alltså är
Exempel G
Vi skall här använda vektorräkning för att visa att diagonalerna i en parallellogram skär varandra mitt itu. Skärningspunkten mellan diagonalerna och är alltså samtidigt mittpunkt på sträckorna och




För att visa detta låter vi vara mittpunkt på diagonalen . Vi vill visa att också ligger på diagonalen , ja till och med att är mittpunkt på . Enligt föregående exempel är

Men nu har vi en parallellogram, det måste vi naturligtvis utnyttja. Vi har alltså att

Detta ger

Men detta betyder just att är mittpunkt på diagonalen . Det följer att sammanfaller med diagonalernas skärningspunkt , som alltså delar diagonalerna mitt itu.

Sats 2
Följande grundläggande räknelagar gäller för vektorer i rummet och i planet:

  (1)      (kommutativa lagen)
  (2)     (associativa lagen för addition)
  (3)   
  (4)   , där
  (5)   
  (6)   
  (7)      (associativa lagen för multiplikation)
  (8)   

Räknelagarna (5) och (6) brukar kallas distributiva lagar.


Kommentarer
Bevis av satsen

Kommentarer:
Den kommutativa lagen (1) utsäger att ordningen inte spelar någon roll vid vektoraddition. För att förstå den associativa lagen (2) måste man vara medveten om den i matematiken ofta använda parenteskonventionen: operationer som står inom parentes skall utföras först. Den associativa lagen (2) innebär alltså att om man först adderar och och därefter lägger till , så kommer man att få samma resultat som man får om man adderar till summan av och . Tre vektorer kan därför summeras i vilken ordning som helst. Räknelagarna (3) och (8) är ju naturliga -- om man adderar nollvektorn till en vektor eller multiplicerar den med talet 1 så ändras inte vektorn. Räknelagen (4) kan ges en generellare form om man vill:


De båda distributiva lagarna talar om hur man får blanda multiplikation och addition och manipulera parenteser.
Det finns flera andra räknelagar som man kan ha nytta av, till exempel
 Bevis:
Bevisen av de åtta räknelagarna använder sig av definitionerna av addition och multiplikation med tal samt motsvarande räknelagar för reella tal. Vi nöjer oss med att bevisa den distributiva lagen (5) i planet . Säg alltså att

Då är

Vänster led i (5) är alltså

medan höger led är

Dessa båda led är lika eftersom

Som läsaren inser blir beviset i rummet likadant -- bara en tredje koordinat att skriva.
De övriga räknelagarna visas på ett snarlikt sätt.

Standardbasen i rummet
I inför vi

och konstaterar på liknande sätt att varje vektor entydigt kan skrivas

(10)
Här är koordinaterna för , dvs . Vi kallar för standardbasen i .