Första gången vi stötte på kryssprodukten var i samband med diskussionen om normal till ett plan. Om och är två riktningsvektorer i ett plan så är kryssprodukten en normal till planet. Det betyder bland annat att kryssprodukten är ortogonal mot både och .
I föregående avsnitt såg vi att kryssprodukten har en annan intressant egenskap. Längden av är lika med arean av den parallellogram som bestäms av och .

Det finns två vektorer som båda är ortogonala mot och och vars längd är lika med arean av den parallellogram som bestäms av och , nämligen och . För att beskriva skillnaden mellan dessa två möjligheter inför vi begreppen högersystem och vänstersystem

Sats 1
Låt och vara två icke-parallella vektorer i rummet. Då har kryssprodukten följande tre egenskaper:

(a) är ortogonal mot och dvs och

(b) är arean av den parallellogram som bestäms av och

(c) bildar ett högersystem.

Dessa tre egenskaper bestämmer kryssprodukten entydigt.

Exempel A
Betrakta de tre basvektorerna , och . Två av dem -vilka som helst-bestämmer en parallellogram (en kvadrat i själva verket) vars area är 1. De är också parvis ortogonala. Eftersom dessutom bildar ett högerssystem får man

 
Vi ställer här samman ytterligare några räkneregler för kryssprodukten. Lägg särskilt märke till den andra av dessa. Den påvisar att ordningen mellan vektorerna i en kryssprodukt är väsentlig. Vektorerna och är i regel inte lika.
Sats 2
Låt , och vara tre godtyckliga vektorer i rummet och låt t vara ett reellt tal, vilket som helst. Då gäller

(a)

(b)

(c)

(d)

(e)

(f)

Bevis av sats 2
Exempel B
  
Vi ger tre tillämpningar av kryssprodukten.

Avstånd från en punkt till ett plan givet i parameterform
Avståndet från en punkt till en linje
Cosinussatsen för sfäriska trianglar

Avstånd från en punkt till ett plan givet i parameterform Vi har tidigare sett hur man kan beräkna avståndet från en punkt till ett plan givet i normalform (sats 2 i sektion 3.3). Vi skall här ta fram motsvarande formel om planet i stället är givet i parameterform, alltså på formen

Låt Q vara en given punkt och sätt .
Vi söker avståndet i figuren.
Om är vinkeln mellan och planets normal, dvs så är . Eftersom


får vi formeln

Exempel C
Låt vara planet genom punkterna A=(1,1,-1), B=(2,-1,1) och C=(4,3,1). Vi söker avståndet från Q=(4,-3,2) till .
Visa en lösning

Avståndet från en punkt till en linje
Avståndet från en punkt till en linje kan beräknas på liknande sätt. Låt linjen vara och låt vara en godtycklig punkt. (Se figuren!)

Den parallellogram som bestäms av och har arean

Division med ger formeln

Observera att nämnaren är skild från noll eftersom vi har antagit att och inte är parallella.

Exempel D
Låt L vara linjen genom punkterna A=(1,1,-1) och B=(2,-1,-3). Vi söker avståndet från Q=(1,9,3) till L.
Visa en lösning

Cosinussatsen för sfäriska trianglar
Detta exempel handlar om cosinussatsen för en sfärisk triangel. Det är en tillämpning av räknelagen (f):

Vi antar att vi har en sfär med radien R samt tre punkter på sfären. Dessa bildar då en sfärisk triangel. Den sfäriska triangelns sidor är bågar av storcirklar. Dessa skärs ut av plan genom sfärens medelpunkt (säg origo). Vinklarna i den sfäriska triangeln är vinklarna mellan normalerna till de plan som skär ut sidornas storcirklar. Den sfäriska triangelns sidor är längderna av motsvarande storcirkelbågar.

Så här ser cosinussatsen för sfäriska trianglar ut

Bevisa av denna formel.