Volymen av en parallellepiped är (definerad som) volymen av basytan gånger höjden. Samma idé används för att bestämma volymen av en cylinder. När vi talar om cylindrar tänker vi i första hand på cylindrar med en cirkulär bas.




Om basen är en cirkel med radien R och höjden är H så är arean av bascirkeln . Volymen av cylindern är

Man kan lika gärna tänka sig att man har ett annat område som bas. Läs om detta

Exempel A
Den mängd vätska som ryms i ett rör kan lätt beräknas med hjälp av formeln för cylinderns volym. Som exempel tar vi ett rör vars innerdiameter är 3 dm och vars längd är 2 meter. Volymen är

 
En rät cirkulär kon har en cirkel som bas och konens topp ligger rakt ovanför bascirkelns centrum.
Bascirkelns area är om dess radie antas vara R. Om konens höjd är H så är konens volym
Volymen av en rät cirkulär kon är alltså en tredjedel av basarean gånger höjden.
Förklara varför!

Kommentar


Samma argument kan utan förändring användas för en kon med en annan bas.
Även i detta fall är alltså volymen en tredjedel av basarean multiplicerat med höjden.

 
Exempel B  

  
Vi skall här beräkna volymen av en sfär med radien R. Låt oss anta att sfärens medelpunkt ligger i origo. Sfären består då av alla (x,y,z) sådana att

x2+y2+z2 = R2

Volymen av en sfär är


Bevisa denna formel  
Om vi vill beräkna arean av en tunn skiva av en sfär kan vi inte ersätta den med ett smal cylinderskiva, eftersom felet då kommer att blir relativt stort.

Vi ersätter i stället bandet med en cylinder vars höjd är bågen i nästa figur.




Det smala bandet i figuren har då bredden . Eftersom radien av bandet är är bandets area ungefär lika med . Hela arean är därför

 
Vi börjar med att studera områden av den typ som figuren beskriver. Områden av detta utseende kallar vi halvmånar.



Observera först att arean av hela sfären är om radien är R. Arean av ett halvklot är därför . Därför är arean av området i figuren , eftersom området utgör av hela övre halvklotet.

Med hjälp av denna observation kan man visa följande sats.

Sats 1
Vinkelsumman i en sfärisk triangel är alltid större än (). Arean av en sfärisk triangel är kvadraten på sfärens radie multiplicerad med skillnaden mellan vinkelsumman och .
Bevis  
På senare år har förutsättningarna för navigation på världshaven förändrats radikalt. Redan tillkomsten av radiofyrar underlättade navigationen. Med hjälp av ett system av satelliter har navigationen ytterligare förenklats. Att bestämma sin position har varit möjligt långt tidigare, men problemet att finna sin position utan moderna hjälpmedel är inte alls enkelt. Vi skall här beskriva hur man kan göra. Först beskriver vi hur man finner sin latitud-det är inte så svårt. Sedan beskriver vi hur man i princip kan finna sin longitud-ett svårare problem.

Latitudproblemet - sextanten

Longitudproblemet - sextanten och kronometern

Satelitnavigation - GPS