Exempel A
Om vi sätter samman en rotation kring origo med en annan rotation kring origo får man en ny rotation kring origo. Mer precist, sammansättningen av rotation med vinkeln med rotation vinkeln ger rotation vinkeln . Med de tidigare använda beteckningarna för rotation har vi alltså att

Denna formel utsäger något ganska självklart: Om man först roterar en viss vinkel runt origo och sedan roterar en annan vinkel blir den sammantagna effekten densamma som att rotera med de två vinklarnas summa!


Om man vill räkna ut hur påverkar planets vektorer så tar vi en vektor och beräknar . Sedan använder vi transformationen T2 på och bildar . Den sammansatta avbildningen är då avbildningen . Detta innebär att . Eftersom och innebär detta att

Observera att ordningen är väsentlig. I regel är avbildningarna och inte lika! Talen i matrisen består av skalärprodukter mellan raderna i [T2] och kolonnerna (kolumnerna) i [T1]. De två raderna i [T2] definierar ju två vektorer, nämligen (a11,a12) och (a21,a22). De två kolonnerna i [T1] definierar också två vektorer, nämligen (b11,b21) och (b12,b22). Talen som står i matrisen för är nu de fyra skalärprodukter som kan bildas mellan dessa två par av vektorer:

Bevis (av sats 1)
Sätt och . Då är . Beviset går ut på att helt rått räkna ut hur koordinaterna för ser ut uttryckt i koordinaterna för . Eftersom har vi att

Sambandet ger på samma sätt

Sätter vi in formlerna för och så får vi

Samlar man nu ihop koefficienterna framför u1 och u2 i höger led får man

Detta beskriver den sammansatta avbildningen och bevisar satsens formel.

Exempel B
Vi undersöker sammansättningen av två skevavbildningar med matriserna

Matrisen för sammansättningen är

Detta ger

Sammansättning av två skevavbildningar är alltså en ny skevavbildning.

Exempel C
Låt oss beräkna sammansättningen av spegling i x-axeln , alltså S0, med spegling i y-axeln, alltså . Dessa har matriserna

Vi betraktar den sammansatta avbildningen alltså först spegling i x-axeln sedan spegling i y-axeln. Den har matrisen

det vill säga

Detta visar att den sammansatta avbildningen är avbildningen , vilket är spegling i origo eller (ekvivalent) rotation med vinkeln .
Figuren visar varför .


Exempel D
Talen i produkten M2 M1 består alltså av skalärprodukter mellan raderna i matrisen M2 och kolonnerna i matrisen M1, alltså

Testövning
Sätt
Då är
Mata in rätt värden:

a=    b=
c=   d=

Alldeles rätt !
Observera att ordningen mellan faktorerna i produkten M2 M1 är väsentlig. I regel är produkterna M2 M1 och M1 M2 inte lika. Här får man:

Fel svar, kolla din beräkningar igen!
Observera att ordningen mellan faktorerna i produkten M2 M1 är väsentlig. I regel är produkterna M2 M1 och M1 M2 inte lika. Det är fel på någon formel du har matat in!

Exempel E
Vi studerar sammansättning mellan (olikformig) skalförändring och rotation kring origo. Låt oss säga att vi fördubblar skalan i den lodräta axelns riktning men lämnar skalan oförändrad i den vågräta axelns riktning. Det finns två fall. Antingen gör man skaländringen först och roterar sedan eller också roterar man först och gör skaländringen därefter. Man inser att resultatet inte kommer att bli lika i dessa två fall. Figuren visar effekten av de båda avbildningarna med vinkeln .

  
I den vänstra figuren visas vad händer med den markerade kvadraten om man först roterar 45 grader runt origo och sedan fördubblar skalan längs den lodräta axeln.
I den högra figuren visas vad händer med den markerade kvadraten om man först förlänger skalan längs den lodräta axeln och sedan roterar 45 grader runt origo.

Man kan också undersöka de båda sammansättningarna genom att beräkna matriserna för de sammansatta avbildningarna. Visa hur detta går till!

Den transformation som fördubblar skalan i den lodräta axelns riktning men lämnar skalan oförändrad i den vågräta axelns riktning har matrisen

Rotation kring origo med vinkeln har matrisen
Den sammansatta avbildning man får genom att först göra skaländringen och sedan rotera har matrisen

Detta ger

På liknande sätt kan man ta fram matrisen för den sammansatta avbildning man får genom att först rotera och sedan göra skaländringen! Visa detta!

Den sammansatta avbildning man får genom att först rotera och sedan göra skaländringen har matrisen

vilket ger

Man ser att

Exempel F
  
I den vänstra figuren visas vad händer med den markerade kvadraten om man först roterar 45 grader runt origo och sedan speglar i den vågräta axeln.
I den högra figuren visas vad händer med den markerade kvadraten om man först speglar i den vågräta axeln och sedan roterar 45 grader runt origo.

Vi undersöker hur matriserna ser ut i de båda fallen. Visa!

Låt S0 vara spegling i den vågräta axeln. Vi vet då att matrisen för S0 är

Låt oss nu sätta samman S0 med rotationen . Återigen finns det två sätt att bilda sammansättningar. Antingen bildar vi eller också tar vi avbildningar i den omvända ordningen och bildar .Enligt sats 1 är matrisen för lika med
Räknar man ut matrisprodukten i det högra ledet så får man

På liknande sätt kan vi beräkna matrisen för genom att bilda produkten . Visa resultatet!
Man får att

Man ser att matriserna för och är olika (om inte är ett heltal multiplicerat med ). Eftersom matrisavbildningar bestäms av sina matriser så visar detta att

Exempel G
Vi studerar sammansättning av spegling i linjen y=x följd av spegling i y-axeln.
Spegling i linjen y=x är transformationen medan spegling i y-axeln är transformationen . Den sammansatta avbildningen har då matrisen

Nu är
Därför är

Höger led är matrisen för rotation vinkeln , alltså


Eftersom således drar vi slutsatsen att



I figuren är och , samtidigt som .

Exempel H
Vi skall här undersöka vad som händer om man sätter samman två speglingar och . Lite överaskande skall vi se att sammansättningen blir en rotation. Man kan övertyga sig om det med hjälp av ett geometriskt argument, men vi skall här först använda matrismultiplikation för att komma fram till resultatet.
Först konstaterar vi att

Höger led är matrisprodukten
Med hjälp av subtraktionsformlerna för sinus och cosinus får man att denna produkt är

Denna matris känner vi igen som matrisen för rotation med vinkeln . Alltså har vi att



I figuren är , . Vinkeln mellan och linjen L1 i figuren är . Därför är vinkeln mellan och lika med . Om då är vinkeln mellan och linjen L2 i figuren så har vi att . Detta ger . Vinkeln mellan och är alltså

Detta visar på nytt att