Man kan tolka determinanten av en matrisavbildning som en area. Sätt nämligen och och antag att T har matrisen M. Då är

Den parallellogram som bestäms av och arean |ad-cb|, vilket är absolutbeloppet av . Det innebär att absolutbeloppet av determinanten för avbildningen T är arean av den parallellogram som bestäms av bilderna av basvektorerna och .

Anmärkning Två vektorer och som inte är parallella definierar en parallellogram. I sats 1 kan det emellertid inträffa att och är parallella. Dessa vektorer definerar då egentligen inte en parallellogram i vanlig mening utan en parallellogram som har kolapsat. Man brukar tala om en urartad parallellogram. En sådan ges arean . Med denna konvention är satsen korrekt oavsett om bilderna av och är parallella eller inte.

Exempel A
Rotation vinkeln (med origo som rotationscentrum), alltså avbildningen , har matrisen

Determinanten är

Exempel B
Spegling i den linje genom origo som bildar vinkeln mot högra halvan av x-axeln har determinanten

Både spegling och rotation har alltså egenskapen att arean av den parallellogram som bestäms av bilderna av enehtsvektorerna och har arean 1. Arean av bilderna är ju absolutbeloppet av determintanen. Minustecknet i kalkylen ovan spelar alltså ingen roll när det gäller arean. Likväl har minustecknet en geometrisk betydelse. Det beror nämligen på att spegling kastar om orienteringen, vilket inte rotation gör. För att förklara detta tänker vi oss att man vrider vinkeln så att den sammanfaller med . Man måste då vrida i positiv orientering (moturs). Men om man vill vrida bilden vinkeln så att den sammanfaller med så måste man vrida i negativ orientering (medurs). Figuren illustrerar detta.


Exempel C
Ortogonal projektion på den linje genom origo som bildar vinkeln mot högra halvan av x-axeln har matrisen

Determinanten är alltså

Detta stämmer väl med satsen, ty bilderna av och kommer ju att hamna på linjen och är alltså parallella. Arean av den urartade parallellogram som bilderna spänner upp är alltså .

Exempel D
Låt T vara skevavbildningen med matrisen

Vad är arean av bilden av rektangeln med hörn i origo och punktenra (2,0), (2,3) och (0,3)?
ösning
Bilden av rektangeln är den parallellogram som bestäms av vektorerna

Arean av bilden är alltså   6   oberoende av värdet på p Vi undersöker inverterbarheten hos tre naturliga exempel, nämligen rotation,  spegling och ortogonal projektion

Exempel F
Rotation kring origo med vinkeln , alltså avbildningen , är inverterbar. Varje vektor är bild av precis en vektor och man kan finna vektorn genom att rotera vinkeln . Man har alltså att om så är . Rotation med vinkeln är alltså inverterbar med inversen

Exempel G
Spegling i en linje (genom origo) är också en inverterbar avbildning av på sig själv. Om nämligen så är . Det innebär att


Exempel H
Ortogonal projektion i en linje är inte inverterbar. Om vi antar att linjen är ax+by=0 så kommer varje vektor som är parallell med normalen (a,b) att avbildas på (0,0), så avbildningen är inte injektiv. Exempel I
Vi vet redan att . Låt oss här verifiera denna formel med hjälp av satsen ovan. Matrisen för är

Determinanten av denna matris är 1. Satsen säger då att avbildningen är inverterbar och att inversens matris är

Men detta är inget annat än matrisen för . Alltså är .

Exempel J
Antag att T har matrisen

Avbildningen T är alltså en skevavbildning. Matrisens determinant är 1. Satsen visar att T är inverterbar och att inversen är en matrisavbildning med matrisen

Exempel K
Låt T vara matrisavbildningen med matris

Bestäm matrisen för inversen! Svar:
Inversen har matrisen
där

a=    b=
c=    d=

 

Bevis(av produktformeln för determinanter)
Låt oss sätta

,  
Då är
,  
Alltså är
vilket ger att

Vidare är

Alltså är

Multiplicerar man nu ihop termerna i det högra ledet ser man att vissa termer tar ut varandra. Det gäller produkterna a1a2c1b2 och b1c2d1d2. Därför förenklas det högra ledet till

Jämför man nu högra ledet med formeln ovan för så ser man att de är lika. Detta visar satsen.

Bevis(av satsen om inversen till en matrisavbildning)
Sätt där T är den matrisavbildning vars matris är M. Det innebär att

v1=au1+bu2, v2=cu1+du2

Låt nu S vara den matrisavbildning vars matris är

där . Då kan man bestämma med sambandet
w1=(d/D)v1+(-b/D)v2, w2=(-c/D)v1+(a/D)u2
Sätter vi nu in uttrycken för v1 och v2 så får vi
w1=(d/D)(au1+bu2)+(-b/D)(cu1+du2)=
=((ad-bc)/D)u1 = u1
och
w2=(-c/D)(au1+bu2)+(a/D)(cu1+du2)=
=((ad-bc)/D)u2 = u2

Detta visar att för alla vektorer i . På liknande sätt ser man att för alla . Det följer att varje vektor är bild av precis en vektor . För det första är bilden av eftersom . För det andra kan inte vara bild av två olika . Om nämligen så är . Detta visar att T är inverterbar och att inversen är S, dvs den avbildning vars matris ges i satsen.