Ansökan

Rapport

Bakgrund

Matematisk naturvetenskaplig fakultet har beslutat om ett projekt angående IT-stödd distansutbildning. I projektet ingår ett antal institutioner och enheter, där ibland matematik. För ändamålet har vi beviljats ett anslag om 100.000 kronor. I anledning av detta har en Distansutbildningsgrupp bildats bestående av Tommy Gustafsson, Jörgen Löfström och Jan Alve Svensson. Gruppen startade sin verksamhet i början av februari och har sedan dess sammanträtt i nio tvåtimmarsmöten var fjortonde dag.

Gruppens arbete

Vi har fört en allmän diskussion om olika aspekter av en IT-stödd distansutbildning i matematik, som vi försök konkretisera på en tänkt kurs om 5 poäng med den tentativa rubriken Analytisk geometri med tillämpningar på optimering. Helst skulle vi velat använda en kurs ur det reguljära kursutbudet av grundkurser, men detta är för närvarande under omstöpning och därför osäkert och vi har bedömt de existerande kurserna som orealistiska som ett första försök till distanskurs på grund av deras omfång. Vår tänkta kurs skulle kunna ingå i det framtida kursutbudet, i synnerhet som en del av den föreslagna ersättaren till Inledande kurs.

Parallellt med den allmänna diskussionen har vi studerat en del tidigare försök till IT-stödd matematik i olika former, dels sådan som finns tillgänglig på webben, ofta i form av maple work sheets eller Java-applets, dels kommersiella försök, i synnerhet Mer-IT matematik för gymnasieskolans matematikkurser A-C.

Vi har också studerat olika möjligheter att kommunicera matematik via dator. Eftersom det är ett icke-trivialt problem att kommunicera matematiska formler i IT-sammanhang är detta viktigt. Samtidigt är det gruppens slutsats att det vore en dålig idé att försöka utveckla egen programvara för detta. Stabila kommersiella produkter följer med, eller leder, utvecklingen inom detta område och är därför överlägsna på sikt.
En lovande fri programvara är Techexplorer, ett insticksprogram till webbläsare utvecklat av IBM, som gör att latex-dokument kan läsas direkt i webbläsare. Ett problem är att den inte finns för Mac (ännu?). Det finns en professionell version av programvaran som tycks vara nödvändig för att realisera samtliga våra intentioner och idéer, men denna tycks fordra kunskaper i programmering som (för närvarande) ligger utan för gruppens kompetens. Vi är också intresserade av att pröva programmet Maple-explorer som utvecklats av maplesoft, men vi har ännu inte fått tillgång till den beställda programvaran.

Vi har genomfört två experiment som bara utnyttjar HTML-kod och mycket enkla JavaScript. De har gjorts för att utröna vad som är möjligt att åstadkomma med enkla metoder. Det ena experimentet är ett arbetsmaterial för begreppet skalärprodukter och det andra är ett försök att genomföra ett dynamiskt exempel. Efter exemplen står det klart att det är möjligt att genomföra IT-stödet i vår tänkta kurs med dessa enkla medel, men att det inte är realistiskt som koncept för IT-stöd till vilken som helst av kurserna i vårt kursutbud. Det är vår uppfattning att vi bör sträva efter att finna lösningar på tekniska problem som kan vara giltiga för matematikkurser i allmänhet, så våra experiment får ses som en första inledning till en lösning av dessa. Våra experiment har gett oss anledning att dra viktiga lärdomar. Utnyttjande av de dimensioner av IT-dokument som ligger utanför det (tryckta) statiska dokumentets, kräver ett annat sätt att förhålla sig till presentationen av ämnet. Det linjära tänkandet från vänster till höger och uppifrån och ned måste överges. Detta ställer nya och vida mer komplexa krav på den pedagogik som krävs.

Sammanfattning av gruppens diskussioner

Allmänna synpunkter på IT-stödd distansutbildning

I dag gäller: "allt skall finnas på skärmen". Det är nog bra när det gäller t.ex. datormanualer, men i en matematikkurs bör huvuddelen av litteraturen finnas i tryckt version. Skälen är dels att eftertänksamt arbete med papper och penna är ett viktigt moment i matematikstudier och arbete vid en datorskärm inbjuder i allmänhet inte till detta, dels att tryckta alster har en mer omedelbar tillgänglighet än virtuella dokument.

Eftersom distansutbildning i huvudsak innebär självstudier måste litteraturen vara skriven så att den går att tillgodogöra sig på egen hand.

Samtidigt erbjuder datorn nya möjligheter att tillgodogöra sig kursinnehållet. Den ger, med rätt programvara, tillfälle att experimentera med kursmaterialet på ett sätt som är tidsmässigt överlägset arbete med papper och penna. Den ger också möjlighet att få en belysning av aspekter av kursinnehållet avskalat från kalkyler. Ett virtuell dokument kan också göras individanpassat i viss utsträckning.

För att komplettera kurslitteraturen behövs studiematerial. Detta skall kompensera för sådant som lärarledd undervisning i bästa fall kan ge. Det kan handla om informell ämnesbeskrivning, motiverande förklaringar och exempel, kommentarer om begreppens och resultatens "egentliga" innebörd, prioriteringar av materialet, diskussion om resultatens relevans och användbarhet, diskussion om beräkningsalgoritmer och problemlösningsmetoder, kompletterande exempel, generaliseringar, tillämpningar, svar och lösningar på uppgifter med mera. Det är sådant kompletterande material som kan finnas eller levereras via datorn.

Förutom kompletterande studiematerial kan studenten behöva individuell handledning och studieråd.

Examinationen kan, av säkerhetsskäl, bara i begränsad utsträckning skötas via dator.

Vårt koncept för IT-stödd distansutbildning bör vara utformat så att det i princip skulle kunna användas på vilken som helst av kurserna i vårt vanliga utbud.

Programvara till kursen måste väljas med detta i åtanke. Helst bör kommersiella (existerande) produkter användas. Dels följer sådana med i (eller leder) utvecklingen och det dröjer det (något) längre innan IT-materialet blir antikt, dels brukar det finnas möjlighet att uppdatera materialet utan att göra om hela arbetet.

Tekniska krav

Privatpersoner har naturligtvis svårt att hänga med i den tekniska utvecklingen. Man måste därför räkna med att många studenter som skall följa en distanskurs har lite gammalmodiga maskiner. Samtidigt måste studentens datormiljö ha en viss lägsta nivå. Var denna lägsta nivå skall ligga måste vi precisera så att vi inte intresserar studenter för en distanskurs som de sedan, av tekniska skäl, måste ge upp.

På samma sätt som studenten måste vara nöjd med sin datormiljö, så har vi vår UNIX-baserade miljö. Basen för lärarnas arbete med distansutbildning måste vara denna miljö. Detta kan innebära ytterligare tekniska begränsningar som vi måste klargöra för oss själva och för deltagarna i en distanskurs.

Institutionen måste således precisera en lägsta datornivå (maskinprestanda, mjukvarutillgång) under vilken det inte är möjligt (eller vettigt) att följa en distanskurs. De som ligger över denna nivå skall å andra sidan kunna följa kursen, även om allt material kanske inte är bekvämt tillgängligt. Studenterna måste få klara besked om vilka tekniska krav de måste uppfylla för att vi skall kunna kommunicera med dem och omvänt.

En beskrivning av lägsta datornivå kan kompletteras med en rekommenderad eller önskvärd (högre) nivå. Man kan till exempel vilja rekommendera en webbläsare med viss prestanda eller någon bestämd mjukvara för att hantera matematiska formler. Det är troligt att sådana rekommendationer leder till att studenter uttrycker önskemål om att få sådan mjukvara till förmånliga villkor, särskilt om tillgång till den är nödvändig för att tillgodogöra sig viktiga eller roliga delar av studiematerialet. Institutionen kan inte på egen hand tillmötesgå sådan önskemål. Därför måste önskemålen antingen tillbakavisas eller också måste institutionen öppna ett samarbete med en mjukvaruproducent. I det senare alternativet behövs förmodligen ett stöd (juridiskt, ekonomiskt) från universitetet.

Följande krav bör (inledningsvis) ställas på programvaran som skall användas:

den skall kunna hantera dynamiska exempel och bevis,
den skall kunna användas för experiment med matematik,
den skall kunna användas för de flesta av våra kurser i framtiden,
det skall vara lätt att modifiera text, innehåll och utformning,
den skall finnas för Mac, PC och Unix (det sista är möjligen inte så viktigt; eventuellt kan man använda wincenter(?)),
priset skall vara överkomligt,
det skall vara enkelt att skriva matematik (för oss).

Av dessa har den första och femte punkten högst prioritet. Den första och fjärde punkten utesluter användning av t.ex. konverterings program som "latex2html".

Vad kan datorn användas till?

Ett studiematerial i datorn kan vara till hjälp dels för att virtuella dokument erbjuder en bra flexibilitet i vad som presenteras; exempelvis kan saker som döljer de övergripande dragen i texten eller repetition av resultat och definitioner döljas i form av länkar.

Ett virtuellt dokument kan också erbjuda individanpassning; om mer hjälp behövs för att följa t.ex. en härledning kan detta erbjudas via en länk eller ett pop-up-fönster.

Eftersom datorn har en enastående förmåga att korrekt genomföra rutinuppgifter i samband med kalkyler kan den användas för att experimentera med kursinnehållet och belysa speciella aspekter avskalade från kalkyler. Det senare momentet behöver nödvändigtvis inte innebära ett aktivt deltagande från studentens sida. Sådana moment kan presenteras i form av t.ex. Maple work sheets. Det experimenterande momentet, som utan tvekan är det svåraste att realisera i praktiken, men möjligen också det viktigaste, kräver ett aktivt deltagande av studenten men fortfarande inte utan ett väsentligt stöd i studiematerialet.

Ett virtuellt dokument bör också kunna erbjuda studenten möjlighet till kunskapskontroll på ett individanpassat sätt. En möjlighet är t.ex. att ge flervalsfrågor med länkar som förklarar möjliga missuppfattningar och som hänvisar till text i kurslitteratur och övningsmaterialet. En annan möjlighet skulle kunna vara att presentera lösta exempel där hela texten inte framträder förrän studenten under vägen besvarar frågor om exemplet.

Dynamiska bevis och exempel

Läsning av webbsidor inbjuder till ett tempofyllt och okoncentrerat läsande; önskan att klicka på länkar för att hitta en bättre presentation av materialet eller se vad som kommer sedan tar överhanden. Kort sagt finns det mycket som kan distrahera när man läser en webbsida.

Å andra sidan har datorn förmåga att fånga uppmärksamheten totalt, t.ex. vid äventyrsspel och för att använda ett matematikprogram för att visualisera lösningar.

För att utnyttja detta och fånga en dimension som ett statiskt (tryckt) dokument inte besitter bör vi försöka använda dynamiska bevis och exempel i vår distanskurs.

Idéen med dessa är att bevisets och exemplets utveckling beror på läsarens verksamhet:

Hela texten är inte synlig från början:

en första textyta visas med en eller flera efterföljande frågor,
läsarens svar ges antingen genom flervalsalternativ och klickning eller med inmatning och klickning

Alternativet med inmatning får förmodligen begränsas till inmatning av enkla matematiska uttryck. Vid bevis skulle själva beviset kunna föregås av frågor som undersöker om läsaren förstår innehållet i satsen som skall bevisas.

Respons på läsarens verksamhet:

vid korrekt svar ersätts frågan med en ny textyta innehållande fortsättningen på beviset eller exemplet och en nys efterföljande frågor.
vid felaktiga svar visar ett nytt mindre fönster en trolig förklaring till felet, eventuella länkar till relevant text och hjälp att komma vidare.

Programvaran till distanskursen bör väljas så att vi kan använda dynamiska exempel och bevis.

Experiment med matematik

Möjligheten att använda styrt experimenterande i kursmaterialet ger också det en dimension som ligger utanför det statiska dokumentets värld.

Minimikravet är att läsaren skall kunna visualisera sina resultat på ett enklare sätt en eget ritande.

Det styrda experimenterandet är ett svårt moment att genomföra och vi måste fundera vidare på det.

Layoutmässig finish

Vilken layoutmässig finish är väsentlig? Det finns två sidor av denna fråga. Dels handlar det om utformningen av det studiematerial m.m. som vi förser studenterna med, dels om studenternas kommunikation med oss.

Det finns absolut ingen anledning att ställa några högre krav på finish på det som studenterna skriver. Tvärtom, studenten skall själv få välja formen för sin kommunikation med oss. Enda villkoret är att vi kan läsa det på vårt standardsystem. Passar snigelpost så skall vi accepterar det.

Vad gäller epost kan vi behöva sätta upp någon standard för hur vissa matematiska egenheter skall noteras. Har studenten någon editor som skriver i HTML, eller något lämpligt ord-och formelbehandlingsprogram, så skall det gå bra.

IT-materialets tillgänglighet

Distansutbildning kan och bör ge studenten stor frihet att själv bestämma över sina studier. Det är en viktig poäng. Den anarkistiska öppenhet som nätet erbjuder är tilltalande ur akademiskt perspektiv. I princip skulle allt kompletterande studiematerial kunde vara en "fri nyttighet på nätet". Men för att få betalt av samhället måste vi kunna registrera studenter och registreringen måste ge studenten viktiga fördelar.

Detta talar för att det kompletterande studiematerialet skulle delas upp i två delar. En del ligger som en fri nyttighet. Den kan då användas också inom den traditionella utbildningen (om något avsnitt av distanskursen överensstämmer med en reguljär kurs). En annan del förbehålls registrerade studenter. För att hindra (eller reducera) kopiering måste nog denna del innehålla någon examinationskomponent (typ obligatorium eller bonus) eller ha karaktär av personlig kommunikation mellan lärare och student.

Vad brukar studenter på våra vanliga kurser önska? Oftast fler lätta övningar och fler fullständiga lösningar. är det bra om dom får det? Ja - i viss utsträckning, men får studenten för mycket material så går för mycket tid åt att ta del av det och för lite tid blir över för eget arbete. I en distanskurs blir trycket stort att få mer material. För att motverka det måste studenten få regelbundna positiva besked om sina studier och utvecklingsmöjligheter. Ett system med återkommande test- och inlämningsuppgifter med personligt utformade lärarkommentarer behövs. Dessutom bör studiematerialet utformas så att studenten får del av dess olika delar på eget initiativ (on demand). Det bör gälla ner till detaljer i utformningen av det datorbaserade materialet.

Studiematerial på nätet

Del 1: Fria nyttigheter tillgängliga för alla via nätet. (Materialet ligger permanent på nätet.)

Presentation av kursen, motiveringar och informella beskrivningar.

Introduktioner till olika avsnitt ur kurslitteraturen, (skrivna så att de kan läsas oberoende av litteraturen).

Tillämpningar och utvidgningar.

Exempel (några få utöver vad som finns i kurslitteraturen).

Enkla testövningar, vissa med lösningar.

Del 2: Endast för registrerade studenter. (Materialet ligger inte permanent på nätet eller är spärrat.)

Prioriteringar av kurslitteraturens material, studieråd.

Förslag till urval av uppgifter ur boken.

Lösta övningsuppgifter (ett fåtal, on demand).

Blandade övningar (ett fåtal, on demand).

Inlämningsuppgifter (slumpmässigt eller individuellt varierade).

Individuell korrespondens med handledare via elbrev.

Stöd för styrt experimenterande med matematik.

Material ingående i en distansutbildning

En (tryckt) kursbok av traditionellt snitt. Genomgång av material exempel och övningsuppgifter med facit.
Ett (virtuellt) individanpassat studiematerial med

Lösta exempel
Kunskapskontroll
Sammanfattningar av kursboken
Övningsuppgifter av interaktiv karaktär
Databas med snabbreferenser
Belysning av moment med hjälp av t.ex. Maple work sheets
Styrt experimenterande t.ex. med Maple work sheets

Utblickar och tillämpningar
Inlämningsuppgifter
Gamla tentamensuppgifter med lösningar av interaktiv karaktär
Individanpassade studieråd
Prioriteringar i kurslitteratur och av övningar
Mänskligt stöd

En frågelåda bör vara tillgänglig för alla registrerade studenter. Så väl virtuella som reella frågor är välkomna. Svaren bör kunna presenteras på en webbsida och svar och frågor bör vara tillgängliga för alla.
En chat-kanal bör prövas så att registrerade studenter kan hålla kontakt med varandra.
Individuell korrespondens med handledare om studieråd och inlämningsuppgifter.

Traditionell tentamen

Uppläggning av IT-stödet i kursen

Vi har valt att betrakta IT-materialet som ett skådespel. Vi kan urskilja tre huvudroller i kursen: Kursboken (ej virtuell), "föreläsningar på nätet och lektioner på nätet. För att inte fastna i traditionellt tänkande har vi gett de två virtuella rollfigurerna till Lectura respektive Aqtiva. Vi lämnar för tillfället Kursboken därhän.

Lecturas roll är att ge sammanfattningar av kurboken i lättsam stil, men också att klargöra vad som är viktigast och ge djuplodande inblickar i valda moment. I hennes rolltolkning förkommer exempel som ytterligare belyser Kursbokens text. Aqtivas uppgift är att ge publiken tankeställare att arbeta med och kontrollera dess färdigheter och kunskaper. Till stöd för sin roll har hon så väl dynamiska exempel och övningar som traditionella sådana.

I skådespelet förekommer också birollerna Kommentarer, Historiska nedslag och Utblickar samt statisten Snabbreferens. Det som gör den sistnämnde till statist är att hans roll inte bidrar till att föra pjäsens handling framåt. Birollerna agerar till stöd för de båda huvudaktriserna. Snabbreferens uppgift är att snabbt påminna publiken om satser och definitioner.

Dramat skall regiseras så att de båda huvudrollsinnehavarna kan agera var för sig, men också så att de kan interagera på ett sätt som ger ett djupare innehåll än att se dem hålla monologer.

Regin av skådespelet kommer att bli ett väsentligen mer omfattande arbete än uppläggningen av en traditionell kurs. Komplexiteten beror (åter igen) på de "icke-linjära" möjligheter som ett virtuellt material ger.

Test av programvara

Vi har testat programmet Maple explorer som visade sig kräva att Maple V (ett matematikprogramm) var installerat. Dettutom verkar programmet inte vara kompatibelt med nyare (!) versioner av webb-läsare. Den väsentliga beståndsdelen i programmet tycks vara den professionella versionen av Tech explorer. Programmet är inte tillgängligt för Mac. Vi har beslutat att tillsvidare basera kursmaterialet endast på användning av, den fritt tillgängliga, webb-läsaren netscape 4+.

Vårt material kommer inte att kunna läsas med full behållning med Microsofts Internet Explorer, eftersom Microsoft frångått www-standarden för html.

Experiment med IT-stöd

Vi har genomfört ett antal experiment för att utröna vad som är möjligt att åstadkomma med enkla metoder. För att läsa dem som tänkt krävs Netscape 4+ .

Det första experimentet vi gjort är ett försök att illustrera begreppet skalärprodukt och visar hur tekniken med ramar och nya fönster skulle kunna användas. Innehållet är tänkt som en sammanfattning och utblick till tryckt kurslitteratur, men kan även användas självständigt. Detta kan beskådas på adressen

http://www.math.chalmers.se/~jorgen/Distans/AGeom/

Två vidareutvecklingar av tekniken (men inte av innehållet) har gjorts, för att undvika komplicerade träd av filer för presentationen. Gemensamt för dem är att de utnyttjar en manöverpanel i en ram längst ner i fönstret för att styra innehållet i huvudfönstret/fönstren, hädanefter kallat teorifönstret. Detta har först skrivits i latex-kod och sedan konverterats till HTML-kod och bilder med hjälp av programmet latex2html. Den producerade HTML-koden har sedan (på ett enkelt sätt modifierats) för att passa ändamålet.

Den första vidareutvecklingen har en manöverpanel som tillåter styrning genom hela kursinnehållet och kursformalia. Teorifönstrets olika delinnehåll separeras med kraftiga gula linjer. Detta kan beskådas på

http://www.math.chalmers.se/~janalve/DUG/forsok/jorgen/distans/AnalytiskGeometri.html .

I det andra försöket till vidareutveckling hänvisar manöverpanelen bara till en liten del av en tänkt kurs (motsvarande ungefär en föreläsning). Teorifönstret består av två delar för att olika "sidor" skall kunna presenteras samtidigt. Läsaren kan styra i vilken ordning sidorna ska presenteras och kan låsa en av de båda delarna. Tekniken utnyttjar lager. Ett försök att dämpa takten har gjorts genom att "sidorna" rullas fram. Texten är inte relevant för vår tänkta kurs. Resultatet finns på

http://www.chalmers.se/~janalve/DUG/forsok/FL1/FL1top.html .

http://www.math.chalmers.se/~janalve/DUG/forsok/FL1/FL1topA.html .

Det andra experimentet är ett försök att illustrera det vi kallar dynamiska exempel och visar hur tekniken med lager kan användas för att undvika ett risigt träd av olika filer. Innehållet, som är valt på måfå, belyser användandet av Euklides algoritm och teorin för polynom för att bestämma en största gemensam delare till två polynom. Den observante läsaren ser att tekniken med dynamiska exempel sätter pedagogiken på hårda prov. Det genomförda experimentet behärskar inte denna särskilt väl, men illustrerar trots allt idéen med dynamiska exempel och att de är genomförbara med enkla medel. Exemplet kan beskådas på adressen

http://www.maht.chalmers.se/~janalve/DUG/forsok/dynam/dynex1.html .

Förslag till kurs och innehåll

Som nämnts i sammanfattningen av gruppens diskussioner har vi fastnat för att föreslå en kurs med titeln Analytisk geometri med tillämpningar. Dess omfattning bör vara 5 poäng för att arbetet inte skall bli oss övermäktigt. Anledningarna till att vi inte vill välja en kurs ur det reguljära utbudet är dels att detta är under omprövning, dels att det för närvarande inte finns någon grundkurs av lämpligt omfång. Vår tänkta kurs skulle kunna ingå som en del i den av Hasse Carlsson förslagna kursen Matematik 1, 20p. Vi arbetar med följande förslag till kursinnehåll:

1. Grundläggande analytisk geometri i planet.

1.1. a) Rätvinkliga koordinatsystem, punkter och deras koordinater.
1.1. b) Pythagoras sats, avstånd mellan punkter.

1.2. a) Räta linjer i planet, ekvationen ax + by + c = 0.
1.2. b) Skärningspunkt mellan två räta linjer.

1.3. a) Cirklar i planet, ekvationen (x - a)2 + (y - b)2 = r2 .
1.3. b) Skärningspunkt mellan en cirkel och en linje.

1.4. a) De trigonometriska grundfunktionerna (sin, cos, tan) med geometrisk definition.
1.4. b) Några få oundvikliga formler (ettan, additionsformler och formler för halva vinkeln för sin och cos).

1.5. a) Transformationer av planets punkter.
1.5. b) Translation.
1.5. c) Rotation kring origo.
1.5. d) Spegling och projektion i axlarna.

1.6. a) Vektorer definierade som translationer, pilar som markörer för en vektor (inga ekvivalensklasser).
1.6. b) Räkning med vektorer, (kraft).
1.6. c) Linjens ekvation i parameterform, (hastighet och fart).

1.7. a) Vinkelräta vektorer.
1.7. b) Normal till en linje, spegling och projektion i en linje.
1.7. c) Avstånd från en punkt till en linje.

1.8. a) Vinkeln mellan två vektorer.
1.8. b) Cosinusteoremet i planet (med bevis via Pythagoras sats).

1.9. Blandade övningar med svar och/eller lösningar.

2. Analytisk geometri i rummet och planet.

2.1. a) Rätvinkliga koordinatsystem, punkter och deras koordinater.
2.1. b) Translation av rummets punkter.

2.2. a) Vektorer, räkning med vektorer, begreppet linjärkombination.
2.2. b) Standardbasen i planet och i rummet.

2.3. a) Linjers ekvation i parameterform.
2.3. b) Planets ekvation i parameterform.

2.4. a) Skalärprodukt i rummet och planet (koordinatdefinitionen).
2.4. b) Längd av vektor, avstånd mellan punkter.
2.4. c) Ortogonalitet, Pythagoras sats.

2.5. a) Vinklar mellan vektorer.
2.5. b) Cosinusteoremet (med algebraiskt bevis).
2.5. c) Sinusteoremet.
2.5. d) Triangelolikheten, Cauchys olikhet.

2.6. a) Tillämpningar på paralaxberäkning.
2.6. b) Tillämpningar på triangulering.
2.6. c) Tillämpningar på höjdmätning.

2.7. Blandade övningar med svar och/eller lösningar.

3. Projektioner och normaler.

3.1. a) Ortogonal projektion längs en vektor.
3.1. b) Ortogonal projektion på en linje.
3.1. c) Avstånd från punkt till linje.

3.2. a) Ekvation för ett plan i normalform.
3.2. b) Samband mellan parameterform och normalform.
3.2. c) Snitt mellan plan.
3.2. d) Systematisk lösning av linjära ekvationssystem (kommenterade exempel).

3.3. a) Ortogonal projektion i ett plan.
3.3. b) Avstånd från punkt till plan.

3.4. a) Spegling i plan.
3.4. b) Spegling i linje.

3.5. a) Parallellprojektion.
3.5. b) Reflexion i ett plan.

3.6. a) Kortaste avstånd från punkt till cirkel.
3.6. b) Kortaste avstånd från punkt till sfär.

3.7. a) Analytisk geometri på sfären - longitud, latitud.
3.7. b) Storcirklar och avstånd.
3.7. c) Vinklar mellan storcirklar.

3.8. Blandade övningar med svar och/eller lösningar.

4. Areor och volymer.

4.1. a) Arean av parallellogram och trianglar i planet.
4.1. b) Determinant (2x2).
4.1. c) Arean av cirklar och cirkelsektorer i planet.
4.1. d) Arean av parallellogrammer och trianglar i rummet.

4.2. a) Kryssproduktens definition.
4.2. b) Beräkning av kryssprodukter.
4.2. c) Beräkning av normaler med hjälp av kryssprodukten.

4.3. a) Volymen av en parallellepiped.
4.3. b) Determinant (3x3).
4.3. c) Volymen av en tetraeder.

4.4. a) Arean och volymen av en cylinder.
4.4. b) Arean och volymen av en kon.
4.4. c) Arean och volymen av en sfär.

4.5. Blandade övningar med svar och/eller lösningar.

5. Linjära optimeringsproblem.

5.1. a) Områden i planet definierade av linjära olikheter.
5.1. b) Nivålinjerna för en linjär funktion i två variabler.

5.2. a) Ett kostnadsminimeringsproblem med två linjära olikheter.
5.2. b) Detaljerad genomgång av exemplet.

5.3. a) Diskussion om existensen av ett minsta värde, (variation av exemplet).
5.3. b) Diskussion om entydigheten, (variation av exemplet).

5.4. a) Ett födoämnesproblem med tre linjära olikheter.
5.4. b) Detaljerad genomgång.
5.4. c) Variation av exemplet.

5.5. a) Omformning av linjära olikheter till linjära likheter genom införande av slackvariabler.
5.5. b) Lösning av linjära optimeringsproblem i planet med hjälp av slackvariabler (ansats till en systematisk
diskussion).
5.5. c) Exempel på linjära optimeringsproblem i rummet.

5.6. Blandade övningar med svar och/eller lösningar.

Projektets genomförande

För att genomföra ett distansutbildningsprojekt i enlighet med den diskussion som förts i gruppen krävs ett omfattande utvecklingsarbete. Detta går väsentligen utöver vad som är normalt vid traditionella kurser. Anledningarna till detta är att vi, för det första, skall handskas med ett nytt och tämligen oprövat medium, för det andra krävs ett regiarbete vida mer omfattande än vid traditionella kurser och för det tredje kommer produktionen av läromedlen att vara väsentligen mer tidskrävande än normalt. Eftersom så väl mediet som regisituationen är väsentligen nya fordras utrymme för experiment och misstag i utvecklingsarbetet.

De huvuduppgifter vi kan se framför oss i arbetet är:

Produktion av traditionell kurslitteratur.

Till det kursförslag våra diskussioner lett fram till finns ingen befintlig kurslitteratur av lämpligt snitt. En sådan måste utarbetas och med en inriktning som gör den lämpad för självstudier.

Produktion av Föreläsningar på nätet.

Inte minst framställandet av lämpliga illustrationer kommer att vara tidsödande. Inget färdigproducerat material finns att tillgå.

Produktion av Lektioner på nätet.

Framställning av dynamiska exempel och övningar kommer att vara tidskrävande.

Produktion av kompletterande IT-material. (Se Uppläggning av IT-stödet .)

Bland annat Utblickar och Historiska nedslag.

Regissering av IT-materialet.

Ett oprövat arbete vars komplexitetsgrad kan nå oanade höjder.

Layout av IT-materialet.

En amatörmässig framtoning kan i dessa tider av avancerade webbsidor ge ett oseriöst intryck. Layouten skall hållas genomtänkt stram utan att ge ett oarbetat intryck. En möjlighet är att vi anlitar professionell hjälp, men vi vill helst behålla kontrollen av materialet själva. (Detta är en viktig princip; materialet skall lätt kunna modifieras.)

Uppläggning av kontakter med studenter.

Organisering av bland mycket annat en frågelåda och chattkanal.

Tester av IT-materialet.

Hela materialet måste genomgås som en helhet innan det blir tillgängligt för studenter. I samband med testerna får vi räkna med att modifieringar av materialet måste göras.

Under förutsättning att tillräckliga medel ställs till gruppens rådighet skulle arbetet kunna fortskrida enligt följande plan:

	lp 4 vt99	sommaren -99	lp 1 ht99	lp 2 ht99	lp 3 vt00	lp 4 vt00	sommaren -00
Kurslitteratur
Föreläsningar
Lektioner
Komplettering
Regi
Layout
Kontakter
Tester

De flesta momenten måste naturligtvis pågå under hela utvecklingsfasen, men planen bör ange när respektive moment pågår som mest aktivt och slutpunkter för dessa. De flesta momenten måste naturligtvis pågå under hela utvecklingsfasen. Under sommaren 2000 måste vi också ha tillfälle att genomföra modifieringar med anledning av testerna.

Ett genomförande av projektet i enlighet med de intentioner och den ambitionsnivå som framgår av sammanfattningen av gruppens diskussioner ovan skulle enligt våra uppskattningar kräva en en lektors arbetsinsats under ett år.