Teorikrav vid tentamen i Analys 1

Tentan innehåller två uppgifter av teoretisk karaktär ur följande lista.

Kap. 3. Gränsvärde och kontinuitet

1. Visa att sin x / x -> 1 då x -> 0.
Se Sats 12, S. 188, i boken

2.Låt g(x) -> b då x -> a och låt funktionen f(y) vara kontinuerlig i y=b. Visa att f(g(x)) -> f(b) då x -> a.
Jfr Sats 10, S. 186

3.Formulera satsen om extrema för kontinuerliga funktioner på slutna och begränsade intervall.
Se Sats 15, S. 199

Kap. 4. Derivator

4.Formulera och bevisa produktregeln för derivator.
Se Sats 3, S. 223

5.Formulera och bevisa kedjeregeln.
Se Sats 5, S. 228

6.Låt f vara deriverbar i punkten x och inverterbar i en omgivning av x. Ange och bevisa formeln för derivatan av inversen i punkten y=f(x).
Se Sats 7, S. 232

7.Antag att f är deriverbar i intervallet I. Visa att f'(x₀)=0 om f har ett extremvärde i en inre punkt x₀ av I.
Se Sats 9, S. 240

8.Formulera och bevisa Rolles sats.
Se Sats 12, S. 245

9.Formulera och bevisa medelvärdessatsen.
Se Sats 13, S. 245

10.Antag att f är deriverbar i intervallet I. Visa att f är (strängt) växande i I om f'(x)>=0 (f'(x)>0) för alla x i I.
Se Sats 14, S. 249

Kap. 5. Integraler

11.Låt f: [a,b] -> R vara kontinuerlig. Visa att S: [a,b] -> R, $S(x)=\int_a^x f(t)\,dt$, är en primitiv funktion till f(x).
Se text, S. 2

12.Formulera och bevisa integralkalkylens huvudsats.
Se text, S. 3

13.Formulera och bevisa satsen om partialintegration.
Se text, S. 4

14.Formulera och bevisa satsen om variabelsubstitution.
Se text, S. 5