Extraövningar till MAL600

1. Var är följande funktioner kontinuerliga, vänster/högerkontinuerliga eller diskontinuerliga?

\begin{matrix}a) f(x) = \begin{cases}x & x < 0 \\ x^{2} & x ≥ 0 \end{cases} & b) f(x) = \begin{cases}x & x < −1 \\ x^{2} & x ≥ −1 \end{cases} \\ c) f(x) = \begin{cases}1/x^{2} & x ≠ 0 \\ 0 & x = 0 \end{cases} & d) f(x) = \begin{cases}x^{2} & x ≤ 1 \\ 0, 987 & x > 1 \end{cases} \end{matrix}

2. Använd intervallhalvering för att lösa följande ekvationer med 3 decimalers noggrannhet.

a) x^{3} + x − 1 = 0  b) cos x − x = 0
c) sin x + 1 − x^{2} = 0 (2 rötter) d) x^{4} − x − 1 = 0 (2 rötter)

3. Använd Medelvärdessatsen på intervallet [0, x] för att visa : cos x ≥ 1−x^{2}/2 för x ≥ 0. Ledning : Betrakta funktionen f(x) = cos x + x^{2}/2 och övertyga dig om att det räcker att visa olikheten för 0 ≤ x ≤ π.

4. Visa att tan x ≥ x för 0 ≤ x ≤ π/2.

5. Antag att f är (minst) en gång deriverbar på intervallet I och att f = 0 i n ≥ 2 olika punkter i I. Visa att f′ = 0 i åtminstone n − 1 punkter i I.

6. Antag att f är två gånger deriverbar på I och att f = 0 i åtminstone tre olika punkter i I. Visa att f′′ = 0 i någon punkt i I.

7. Antag att f är två gånger deriverbar på I, att 0 och2 ∈ I och att f(0) = f(1) = 0 och f(2) = 1. Visa att

a) f′(a) = 1/2 för något a ∈ I b) f′′(b) > 1/2 för något b ∈ I
c) f′(c) = 1/7 för något c ∈ I

8. Är följande påståenden sanna eller falska? Ge bevis eller motexempel.

a) Om lim_{x→a} f(x) existerar men lim_{x→a} g(x) inte gör det, så existerar inte lim_{x→a}(f(x) + g(x)).

b) Om varken lim_{x→a} f(x) eller lim_{x→a} g(x) existerar så existerar inte lim_{x→a}(f(x) + g(x)).

c) Om f är kontinuerlig i a så är även |f| det.

d) Om |f| är kontinuerlig i a så är också f det.

e) Om f(x) < g(x) för all x i ett intervall runt a och om både lim_{x→a} f(x) och lim_{x→a} g(x) existerar så gäller lim_{x→a} f(x) < lim_{x→a} g(x).

9. Beräkna följande gränsvärden.

a) lim_{x→1} \frac{x^{2}−1}{x+1}  b) lim_{x→−1} \frac{x^{2}−1}{x+1}
c) lim_{x→−∞} \frac{x^{2}+3}{x^{3}+2}  d) lim_{x→0} x sin \frac{1}{x}
e) lim_{x→∞} \frac{3x^{3}−5x^{2}+7}{8+2x−5x^{3}}  f) lim_{x→∞} \frac{2x−1}{\sqrt{3x^{2}+x+1}}
g) lim_{x→∞} \sqrt{x^{2} + 2x} − \sqrt{x^{2} − 2x} h) lim_{x→−∞} \sqrt{x^{2} + 2x} − \sqrt{x^{2} − 2x}

10. Definiera följande funktioner i punkten a så att de blir kontinuerliga.

a) f(x) = \frac{x^{2}−4}{x−2}, a = 2 b) f(x) = \frac{x^{2}−5x+6}{x^{2}−x−6}, a = 3

11. Använd fixpunktsiteration för att lösa följande ekvationer med 3 decimalers noggranhet.

a) cos \frac{x}{3} = x b) 1/(2 + x^{2}) = x

12. Använd Newton-Raphsons metod för att a) hitta roten till ekvationen x^{3} + 2x − 1 = 0 i intervallet [0, 1].

b) lösa ekvationen sin x = 1 − x.

c) hitta den positiva roten till ekvationen cos x = x^{2}.

d) roten till ekvationen tan x = x i intervallet [π/2, 3π/2].

13. Tillämpa Newton-Raphsons metod på

f(x) = \begin{cases}\sqrt{x} & x ≥ 0 \\ \sqrt{−x} & x < 0 \end{cases}

med startvärde x_{0} = a > 0. Vad händer? Varför? Rita och förklara.

14. Lös ekvationen x^{3}+10x−10 = 0 genom att skriva om den som 1−x^{3}/10 = x.

15. Använd definitionen för att beräkna Taylorpolynomen till följande funktioner kring angiven punkt t.o.m angiven grad.

a) f(x) = e^{−x}, kring x = 0, av grad 4
b) f(x) = cos x, kring x = π/4, av grad 3

16. Använd kända Maclaurinutvecklingar för att Taylorutveckla följande funktioner kring angivna punkter.

a) f(x) = e^{3x}, kring x = −1 b) f(x) = sin^{2} x, kring x = 0

Ledning: sin^{2} x = \frac{1}{2}(1 − cos 2x)

17. Hitta ett närmevärde på 9^{1/3} genom att Taylorutveckla f(x) = x^{1/3} runt x = 8.

18. Hitta ett närmevärde på 1/\sqrt{e} = e^{−0.5} genom att Taylorutveckla f(x) = e^{x} runt origo.

19. Visa att origo är en stationär punkt till f(x) = ln(1 + x) arctan 2x − 2x^{2}. Har f ett lokalt extremvärde där?

20. Antag att f′′′ är kontinuerlig i ett intervall innehållande x. Beräkna

lim_{h→0} \frac{f(x + 2h) − 2f(x + h) + 2f(x − h) − f(x − 2h)}{2h^{3}}.

Ledning: Taylorutveckla t.o.m. ordning tre.

21. Beräkna summan av följande serier.

\begin{matrix}a) ∑_{1}^{∞} 1/3^{n} & b) ∑_{1}^{∞} 3(−1/4)^{n−1} \\ c) ∑_{5}^{∞} 1/(2 + π)^{2n} & d) ∑_{0}^{∞} 5/10^{3n} \end{matrix}

22. I början av varje år sätts 1000 kr. in på ett konto. Räntan är 10 procent per år och betalas ut i slutet av året. Hur mycket finns på kontot efter 8 år? (Innan år 0 fanns inget på kontot.)

23. Avgör om följande påståenden är sanna eller falska. Ge bevis eller motexempel.

a) Om a_{n} = 0 för alla n så är ∑_{0}^{n} a_{n} konvergent.

b) Om ∑_{0}^{n} a_{n} är konvergent så är ∑_{0}^{n} 1/a_{n} divergent.

c) Om ∑_{0}^{n} a_{n} och ∑_{0}^{n} b_{n} båda är divergenta så är ∑_{0}^{n} a_{n} + b_{n} divergent.

d) Om a_{n} ≥ c > 0 för alla n så divergerar ∑_{0}^{n} a_{n} mot +∞.

e) Om ∑_{0}^{n} a_{n} divergerar och följden {b_{n}}_{0}^{∞} är begränsad så är ∑_{0}^{n} a_{n}b_{n} divergent.

f) Om a_{n} > 0 för alla n och ∑_{0}^{n} a_{n} är konvergent så är ∑_{0}^{n}(a_{n})^{2} konvergent.

24. Använd lämpliga konvergens/divergenskriterier för att avgöra om följande serier är konvergenta eller divergenta.

\begin{matrix}a) ∑_{1}^{∞} 1/(n^{2} + 1) & b) ∑_{1}^{∞} n/(n^{4} − 2) \\ c) ∑_{1}^{∞}(n^{2} + 1)/(n^{3} + 1) & d) ∑_{1}^{∞} \sqrt{n}/(n^{2} + n + 1) \\ e) ∑_{1}^{∞} 1/(π^{n} − n^{π}) & f) ∑_{2}^{∞} \sqrt{n}/(3^{n} ln n) \end{matrix}

25. Använd integralkriteriet för att visa att ∑_{1}^{∞} 1/(1+n^{2}) är konvergent och att summan är mindre än π/2.