Matematik Göteborgs universitet Håkan Samuelsson Hjälpmedel:Bifogat formelblad

Miniräknare

Telefon: Anders Logg 073-977 92 68

Tentamensskrivning i MAL420/600, Analys fortsättningskurs 13 april 2004, 8.45-13.45

1. För vilka reella x konvergerar potensserien

∑_{n=1}^{∞} \frac{3^{n}x^{3n}}{n^{3}} ?

2. (a) Hur många lösningar har ekvationen e^{x} − 1/2 = cos x i intervallet 0 ≤ x < ∞? (Motivera ditt svar.)

(b) Hitta närmevärde/närmevärden till lösningen/lösningarna i intervallet 0 ≤ x < ∞ med två korrekta decimaler.

3. Beräkna gränsvärdet

lim_{x→0} \frac{\sqrt{1 + 1/x^{4}} − 1/x^{2}}{1 − cos x} .

4. Lös differentialekvationen

y′′(x) + y′(x) − 2y(x) = e^{x}.

5. Lös begynnelsevärdesproblemet

\{ \begin{matrix}y′(x) = \frac{y(x)}{x} ln y(x), x > 0 \\ y(1) = 2 \end{matrix}

ledning: Inför hjälpfunktionen z(x) = ln y(x).

6. Visa att om en potensserie ∑_{n=0}^{∞} a_{n}x^{n} är absolutkonvergent för x = r > 0 så är serien absolutkonvergent för alla x sådana att |x| ≤ r.