Matematik Göteborgs universitet Håkan Samuelsson Hjälpmedel:Valfri räknedosa

Bifogat formelblad Telefon: Erik Svensson

0739-77 92 68

Tentamensskrivning i MAL600, Analys fortsättningskurs 18 augusti 2004, 8.45-13.45

I lösningarna får du bara hänvisa till uträkningar som kan göras med en ”typgodkänd” räknedosa. Du får alltså inte använda eventulla inbyggda program för ekvationslösning utan de succesiva beräkningarna måste redovisas. Du får inte heller hänvisa till figurer gjorda med en grafritande räknare.

1. Hitta, med två decimalers noggrannhet, de två rötterna till ekvationen

e^{x^{2}} = x^{3} + x^{2} + 1.

2. Beräkna gränsvärdet

lim_{x→0} \frac{ln(cos x)}{tan x}.

3. Lös differentialekvationen

y′(x) − \frac{2x}{1 + x^{2}} y(x) = x + x^{3}.

4. För vilka reella x konvergerar potensserien

∑_{1}^{∞} \frac{sin(1/n)}{\sqrt{n}}x^{n} ?

5. I en viss bakterieodling kommer man fram till att tillväxthastigheten, mätt i antal gram bakterier per sekund, är två gånger så stor som totala mängden näring i odlingen, mätt i gram, vid varje tidpunkt. Vid tiden t = 0 finns 1 gram bakterier och ingen näring i odlingen. Därefter tillförs näring med en hastighet av t + 1 gram per sekund vid tiden t. Dessutom äter bakterierna av näringen med en hastighet av m(t)/2 gram per sekund vid tiden t där m(t) betecknar antal gram bakterier i odlingen vid tiden t. Beräkna m(t).

6. Antag att f är en deriverbar funktion som avbildar ett intervall I = [a, b] in i sig själv. Antag också att |f′(x)| ≤ c < 1 för alla x i I. Visa att ekvationen x = f(x) har precis en rot i I.