Matematik Göteborgs universitet Håkan Samuelsson Hjälpmedel:Bifogat formelblad

Miniräknare

Telefon: Håkan Samuelsson 0740-350646

Tentamensskrivning i MAL420/600, Analys fortsättningskurs 22 mars 2004, 8.45-13.45

1. Beräkna gränsvärdet

lim_{x→0} \frac{e^{x/3} − 1}{(1 + x)^{1/3} − 1}.

2. Avgör om följande serie är konvergent eller divergent:

∑_{k=1}^{∞} ln(1 + \frac{1}{k^{2}} ).

3. Lös följande första ordningens differentialekvationer:

(a) y′(x) + \frac{1}{x}y(x) = x, x > 0

(b) y(x)y′(x) = x/e^{y(x)^{2}}.

4. Ekvationen x^{2} −5 = arctan x har en positiv och en negativ lösning. Använd någon iterationsmetod för att bestämma närmevärden till dessa med två korrekta decimaler.

5. Lös begynnelsevärdesproblemet

\{ \begin{matrix}Lq′′(t) + Rq′(t) + \frac{1}{C} q(t) = U \\ q(0) = 0 \\ q′(0) = 0 \end{matrix}

där L, C, R och U är nollskilda konstanter som uppfyller R = 2\sqrt{L/C}. Beräkna också lim_{t→∞} q(t). (Detta modellerar en kritiskt dämpad krets med en resitans, en spole och en kondensator i serie över vilken man lägger en konstant spänning. q(t) är kondensatorns laddning vid tiden t.)

6. (a) Antag att f är en deriverbar (så många gånger du behöver) funktion och definiera Taylorpolynomet till f av grad 3 runt origo.

(b) Visa att Taylorpolynomet (av grad 3) är unikt, dvs. visa att om

f(x) = a_{0} + a_{1}x + a_{2}x^{2} + a_{3}x^{3} + O(x^{4})

och

f(x) = b_{0} + b_{1}x + b_{2}x^{2} + b_{3}x^{3} + O(x^{4})

så måste a_{0} = b_{0}, a_{1} = b_{1}, a_{2} = b_{2} och a_{3} = b_{3}.