Matematik Göteborgs universitet Håkan Samuelsson Hjälpmedel:Bifogat formelblad Telefon: Fredrik Engström

0740-350646

Tentamensskrivning i MAL420/600, Analys fortsättningskurs 24 mars 2003, 8.45-13.45

1. För vilka reella x konvergerar potensserien

∑_{n=1}^{∞} \frac{(−1)^{n}}{n^{4}4^{n}} x^{n}?

2. Beräkna gränsvärdet

lim_{x→0} \frac{2 sin 3x − 3 sin 2x}{x − arctan x}.

3. Lös ekvationen

y′′ − y′ − 2y = 6e^{−t}.

4. Bestäm den kurva i (x, y)-planet som går genom (0, 1/2) och vars tangent i punkten (x, y) har riktningskoefficient x(1 + 2y).

5. (a) Bestäm koefficienterna a_{n} så att

ln x = ∑_{n=0}^{N} a_{n}(x − 2)^{n} + O((x − 2)^{N+1})

för x nära 2.

(b) För vilka reella x konvergerar

∑_{n=0}^{∞} a_{n}(x − 2)^{n}?

6. (a) Formulera fixpunktsatsen.

(b) Redogör för Newton-Raphsons metod att lösa ekvationen f(x) = 0. Utgå ifrån fixpunktsatsen och motivera varför metoden fungerar.