Inlämningsuppgifter II

1.

Lös den diofantiska ekvationen

104x-273y=1573.

Bestäm också de positiva lösningarna.

2.

Bestäm resten av

(19²⁵+6³⁴)¹⁰⁰¹

vid division med 11.

3.

En chef på ett företag vill ordna det så att viss information i företagets datorsystem bara är tillgänglig för tre av medarbetarna (A, B och C) om de samtidigt tar del av informationen.

Hon gör detta på följande vis:

Först bestämmer hon ett lösenord med hjälp av bokstäverna a, b, c, d, e, f, g, h, i . Hon ersätter bokstäverna a till i med talen 1 till 9 (i tur och ordning) och får på detta sätt ett tal från lösenordet. Detta tal kallar hon n. Hon väljer ett långt lösenord så att n blir ett stort tal.

Medarbetarna väljer sedan var sitt olika primtal $p_{A},\,p_{B}$ och p_C av ungefär samma storleksordning och som är större än $\sqrt[3]{n}$. De meddelar chefen sina val, men håller dem hemliga för varandra. Chefen meddelar sedan medarbetare A resten n_A av n vid division med p_A. På samma sätt får sedan medarbetarna B och C resten n_B och n_C av n vid disivion med p_B rsepektive p_C.

(a)

Varför är det möjligt att med kännedom om $(n_{A},p_{A}),\,(n_{B},p_{B})$ och (n_C,p_C) rekonstruera lösenordet? Varför räcker det inte att känna till två av paren?

(b)

Vad var lösenordet om $(n_{A},p_{A})=(54,89),\,(n_{B},p_{B})=(1,97)$och (n_C,p_C)=(45,101).

4.

Vilka delgrupper har gruppen $(\mathbb Z/23)^{\times}$?