Tentamen i MAN011 Aritmetik och Algebra del 1, 5p, 98 03 14.

1.

Formulera och bevisa faktorsatsen.

2.

Visa att om p är ett primtal och $p\,\vert\,ab$ där a och b är heltal så gäller att $p\,\vert\,a$ eller $p\,\vert\,b$.

3.

Bevisa Lagranges sats om ordningen för en delgrupp till en ändlig grupp.

4.

Visa att

$$\sum_{k=1}^{n}\frac{k^{2}+3k+1}{k^{2}(k+1)^{2}}=2-\frac{n+2}{(n+1)^{2}},\,\,n=1,\,2,\,3,\ldots$$

5.

Ungefär 1.500 enkronor staplas på ett bord. När kronorna läggs i staplar med 10 kronor i varje blir det 7 stycken över, när staplarna innehåller 7 enkronor var blir det 3 kronor över och när staplarna består av 13 kronor blir det 10 över. Exakt hur många enkronor låg det på bordet?

6.

Visa att n³+3n²+14n-12 är delbart med 6 för alla heltal n och med 12 om n är ett jämnt heltal.

7.

(a)

Vad menas med att en grupp är cyklisk?

(b)

Är grupperna $\mathbb Z/21^{\times}$ och $\mathbb Z/22^{\times}$ cykliska? Bestäm i så fall en generator för gruppen.

8.

Hasse skall köpa kaffebröd till sitt födelsedagskalas. Han tänker köpa tre olika sorters wienerbröd som alla kostar 8 kronor styck och en sorts tårta som kostar 40 kronor styck. På hur många sätt kan han göra detta om han skall köpa minst 3 wienerbröd av varje sort och minst en tårta och hela kalaset skall kosta 200 kronor?