Tentamen i MAN011 Aritmetik och algebra, del 1, 98 08 15

1.

Formulera och bevisa triangelolikheten för komplexa tal.

2.

Låt a, b, c, och d vara heltal och n ett positivt heltal. Visa att om $a\equiv b \;\mbox{mod}\,n$ och $c\equiv d\;\mbox{mod}\,n$, så gäller att $a+c\equiv b+d\;\mbox{mod}\,n$ och $ac\equiv bd\;\mbox{mod}\,n$.

3.

Bevisa Lagranges sats om ordningen för en delgrupp till en ändlig grupp.

4.

Lös ekvationen

$$z^{2}+(i-4)z+5-5i=0\;.$$

5.

Talföljden $a_{n},\;n=0,1,\ldots$ definieras genom

$$a_{0}=1,\;\;a_{n+1}=\frac{a_{n}}{2+a_{n}},\;n=0,1,\ldots\;.$$

(a)

Ange en formel för a_n.

(b)

Bevisa ditt påstående i (a).

6.

Hur många heltalslösningar har ekvationen x+y+z=51 om
(a) $x\geq 0$, $y\geq 3$ och $z\geq 1$,
(b) $x\geq 0$, $y\geq 3$ och $1\leq z\leq 10$?

7.

Vilken eller vilka av följande delmängder till S₅ är delgrupper?

(a)

{(1), (1,2,3,5,4), (1,3,4,2,5), (1,2,5,3,4,) (1,4,5,3,2), (1,4,3,5,2), (1,5,2,4,3)}

(b)

{(1), (4,5), (1,2,3), (1,3,2), (1,2,3)(4,5), (1,3,2)(4,5)}

(c)

{(1), (1,2,3,5,4), (1,3,4,2,5), (1,4,5,3,2), (1,4,3,5,2), (1,5,2,4,3)}

Motivera dina svar!

8.

Visa att 7¹⁰ⁿ⁺¹+6^11n-1 är delbart med 43 för varje positivt heltal n.