$\parbox{5cm}{Aritmetik och algebra\\ del 2, HT 98 \\ ~~~~\\ ~~~~}$

Inlämningsuppgifter 2

1.

Visa att $\mathbb Q(\alpha),$ där $\alpha^{4}=3\alpha^{2}+\alpha+1$ är en kropp och bestäm inversen till $\alpha-2$.

2.

Definiera en så liten kropp K som möjligt som innehåller

(a)

$\mathbb Q,$ så att $x^{4}-3x^{3}+3x+1\in \mathbb Q[x]$faktoriserar som en produkt av polynom av grad 1 i K[x].

(b)

$\mathbb Z/3,$ så att $x^3+2x+1\in \mathbb Z/3[x]$ är en produkt av polynom av grad 1 i K[x].

Ange faktoriseringarna.

3.

Matrisen A nedan med element i $\mathbb Z/7$ är inverterbar. Visa detta och lös ekvationen AXA^-1=C, där

$$A=\left(\begin{array} {rrr} 1&1&3\\ 1&3&4\\ 2&3&2\\ \end{... ...gin{array} {rrr} 1&0&3\\ 2&0&4\\ 4&3&2 \end{array}\right).$$

4.

Matrisen A nedan har element i $\mathbb Z/5$. Bestäm om möjligt en inverterbar matris C och en diagonal matris D, så att A=CDC^-1.

$$\left( \begin{array} {rrr} 2&2&3\\ 2&1&4\\ 2&3&2 \end{array}\right).$$